Expressions algébriques/Exercices/Pour les cracks
Dans toute la page, même si ce n'est pas indiqué, les variables prennent des valeurs telles que les calculs soient définis.
Exercice 9-1
modifierDémontrer que si l'expression algébrique :
est nulle, alors l'expression :
est nulle aussi.
La réciproque est-elle vraie ?
(Si la réciproque est fausse, on pourra le démontrer en se contentant de donner un contre-exemple)
On vérifiera, en développant le second membre que l'on a la factorisation suivante :
qui s'écrit :
et nous voyons clairement que si est nulle alors est nulle aussi.
En ce qui concerne la réciproque, l'expression :
ne peut visiblement pas être nulle
donc toujours en considérant l'expression :
,
nous voyons que si l’expression est nulle, l'expression le sera aussi.
La réciproque est donc vraie aussi.
Exercice 9-2
modifierFactorisez le polynôme :
Nous observons des différences de carrés. On a donc :
Exercice 9-3
modifierSupposons que l'on ait la relation :
Montrer que cette relation est toujours vraie après permutation simultanée de et , de et ainsi que de et .
En fait, nous devons montrer que :
Posons :
Nous en déduisons :
Nous remarquons que permuter circulairement , et revient à permuter circulairement , et
Nous avons alors :
L'expression :
étant invariante par permutation circulaire de , et , nous en déduisons :
.
Exercice 9-4
modifierDans cet exercice, sont supposées être des constantes fixées et sont supposées être des variables.
Montrez que l'expression algébrique :
conserve la même valeur pour toutes les valeurs de qui annulent .
Supposons , alors :
Nous obtenons bien une expression indépendante de .
Exercice 9-5
modifierDémontrer les inégalités suivantes, pour :
- (utiliser ) ;
- (utiliser 1.) ;
- (utiliser 1.) ;
- .
- .
- D'après 1., .
- or d'après 1., .
- D'après 1., .