Filtre passif passe bas/Fonction de transfert

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Filtre RC

Étude rudimentaire

Une étude simplifié du filtre permet de vérifier son comportement, pour cela on considère les composants parfaits et le filtre non chargé.

Quand la fréquence du signal d'entrée tend vers 0 (signal continu), le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. Il n'y a pas de courant qui circule dans la résistance R car le filtre n'est pas chargé. Donc $V_{in}=V_{out}$.

À l'inverse, quand la fréquence du signal d'entrée tend vers l'infini, le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé (court-circuit). La tension aux bornes d'un court-circuit est nulle, $V_{out}=0$.

Nous avons bien un filtre passe-bas.

Fonction de transfert

${\underline {T}}(j\omega )={\frac {\underline {V_{out}}}{\underline {V_{in}}}}={\frac {1}{1+jRC\omega }}$

Démonstration avec un pont diviseur de tension

Nous avons un pont diviseur de tension :

${\underline {V_{out}}}={\underline {V_{in}}}\times {\frac {Z_{C}}{Z_{R}+Z_{C}}}$

Les impédances sont $Z_{R}=R$ et $Z_{c}={\frac {1}{jC\omega }}$.

${\underline {V_{out}}}={\underline {V_{in}}}\times {\frac {\frac {1}{jC\omega }}{R+{\frac {1}{jC\omega }}}}$

${\underline {V_{out}}}={\underline {V_{in}}}\times {\frac {{\frac {1}{jC\omega }}\times jC\omega }{(R+{\frac {1}{jC\omega }})\times jC\omega }}$

${\underline {V_{out}}}={\underline {V_{in}}}\times {\frac {1}{jRC\omega +1}}$

${\frac {\underline {V_{out}}}{\underline {V_{in}}}}={\frac {1}{1+jRC\omega }}$

 

Vérification de la fonction de transfert avec les limites

$T(j\omega )={\frac {1}{1+j{\frac {\omega }{\omega _{0}}}}}$ avec $\omega _{0}={\frac {1}{RC}}$

Si $\omega$ tend vers 0, $T(j\omega )={\frac {1}{1+j{\frac {0}{\omega _{0}}}}}={\frac {1}{1}}=1$

Si $\omega$ tend vers $\omega _{0}$, $T(j\omega )={\frac {1}{1+j{\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}}}}}={\frac {1}{1+j}}$

Si $\omega$ tend vers l'infini, $T(j\omega )$ tend vers 0.

Le résultat des limites est cohérent.

 

Pulsation et fréquence de coupure

En utilisant la forme réduite de la fonction de transfert pour les systèmes du premier ordre :

$T(j\omega )={\frac {T_{0}}{1+j{\frac {\omega }{\omega _{0}}}}}$

on trouve par identification :

$T_{0}=1$ et $\omega _{0}={\frac {1}{RC}}$

ainsi, la fréquence de coupure $f_{0}$ est :

$f_{0}={\frac {1}{2\pi RC}}$ car $\omega _{0}=2\pi f_{0}$

Module de la transmitance

$T={\frac {1}{\sqrt {1+({\frac {f}{f_{0}}})^{2}}}}$

Démonstration

$T=\left|{\frac {T_{0}}{1+j{\frac {f}{f_{0}}}}}\right|$

$T={\frac {1}{\left|1+j{\frac {f}{f_{0}}}\right|}}$

$T={\frac {1}{\sqrt {1^{2}+({\frac {f}{f_{0}}})^{2}}}}$

 

Gain

$G=20\log {\left|{\underline {T}}\right|}=-10\log \left({1+\left({\frac {f}{f_{0}}}\right)^{2}}\right)$

Démonstration

$G=20\log T$

$G=20\log {\frac {1}{\sqrt {1+({\frac {f}{f_{0}}})^{2}}}}$

$\log {\frac {1}{a}}=-\log a$

$G=-20\log {\sqrt {1+({\frac {f}{f_{0}}})^{2}}}$

$G=-20\log \left({1+\left({\frac {f}{f_{0}}}\right)^{2}}\right)^{1/2}$

$\log {a^{n}}=n\cdot \log a$

$G=-10\log \left({1+\left({\frac {f}{f_{0}}}\right)^{2}}\right)$

 

Impédance d'entrée

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