Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

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Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
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Chapitre no 10
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :Dérivée d'un quotient
Chap. suiv. :Dérivée d'une fonction composée
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Théorème sur la dérivation d'une fonction affine suivie d'une autre fonctionModifier

On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l’expression à partir d'un réel x est obtenue en deux temps :

  • On applique d’abord une fonction affine
  • On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ


Le schéma étudié est donc le suivant :  

qui peut se ramener à l'étude de  


Début d’un théorème
Fin du théorème


  Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.

ExemplesModifier

Exemple 1Modifier

Soit g la fonction définie sur   par  . Dériver g

Début d’un principe
Fin du principe


Le schéma est  

et se ramène à  


Soit  

  • D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en  
  • Dans notre cas,  
  • Pour tout  , donc ƒ est dérivable sur   et, pour tout  
  • En particulier, ƒ est dérivable en   donc g est dérivable en x
  • On applique la formule du théorème :
Pour tout   :

 


Finalement, pour tout  


Exemple 2Modifier

Soit g la fonction définie sur   par  . Dériver g

Le schéma est  

et se ramène à  


Soit  

  • D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en  
  • Dans notre cas,  
  • Pour tout  , donc ƒ est dérivable sur   et, pour tout  
  • En particulier, ƒ est dérivable en   donc g est dérivable en x
  • On applique la formule du théorème :
Pour tout  


Exemple 3Modifier

  • Soit g la fonction définie sur   par  . Dériver g

Le schéma est  

et se ramène à  


Soit  

  • D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en  
  • Dans notre cas,  
  • Pour tout  , donc ƒ est dérivable sur   et, pour tout  
  • En particulier, ƒ est dérivable en   donc g est dérivable en x
  • On applique la formule du théorème :
Pour tout  

Exemple 4Modifier

  • Soit g la fonction définie sur un domaine   par  . Dériver g.


  Voici notre premier exemple de fonction qui n’est pas définie partout. Il faudra donc faire attention aux domaines de définition et de dérivabilité.
On commence comme d'habitude par identifier les éléments   et ƒ

Le schéma est  

et se ramène à  


La fonction ƒ est définie par   sur le domaine  . Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

 

En déduire pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction g n’est pas définie. En déduire le domaine  

Vérifier la dérivabilité.

  • Enfin, on applique la formule du théorème :
Pour tout  

Exemple 5Modifier

Soit g la fonction définie sur un domaine   par  


Le schéma est  

et se ramène à  


La fonction ƒ est définie par   sur le domaine  . Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

 


Étudier le signe de l’expression  . En déduire le domaine  

Vérifier la dérivabilité.


  • Enfin, on applique la formule du théorème :
Pour tout