Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée

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Cette section nécessite des connaissances sur la composition des fonctions. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


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Dérivée d'une fonction composée
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Chapitre no 11
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Dérivée d'une fonction composée
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Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée
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Dérivée d'une fonction composéeModifier

ThéorèmeModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Ce théorème sera démontré dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.

  Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.

Exemple 1Modifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début d’un principe
Fin du principe

Le schéma est

 

et se ramène à

 

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :

  •   ;
  •  .

On a bien  .

  •   est définie et dérivable sur   et, pour tout  ,  .
  •   est définie et dérivable sur   et   et, pour tout  ,  .
  • On applique la formule du théorème :
Pour tout   :

 


Finalement, pour tout  ,  .


Exemple 2Modifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Domaine de définition

Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.

Une étude de la fonction du second degré   donne le tableau de signes suivant :

 

  Pour des rappels sur la résolution des inéquations du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré.

Donc   est définie sur  .


Étude de la dérivabilité

Le schéma est

 

et se ramène à

 

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :   et  .

On a bien  

  •   est définie et dérivable sur   et, pour tout  ,  .
  •   est définie sur  , mais n'est dérivable que sur  .
Pour avoir la dérivabilité de  , il faut donc retirer tous les points pour lesquels  , c'est-à-dire 1 et 2.

Finalement,   est dérivable sur  


  • On applique la formule du théorème :
Pour tout   :
 

Finalement, pour tout  ,  .


Autres exemplesModifier

  Voir les exercices sur : Dérivée d'une fonction composée.



Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule de composition en précisant le domaine sur lequel cette dérivation est valable :

  •   ;
  •  .

Conséquences : formules de dérivationModifier

Soit   une fonction définie sur un domaine   à valeurs dans  

On obtient les formules de dérivation de composées suivantes :

 

Si de plus, pour tout  ,