1. Calculer la dérivée de ƒ
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
−
3
x
2
+
6
x
+
9
=
3
(
−
x
2
+
2
x
+
3
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-3x^{2}+6x+9=3(-x^{2}+2x+3)}
2. Étudier le signe de cette dérivée Le discriminant du polynôme du second degré
−
X
2
+
2
X
+
3
{\displaystyle -X^{2}+2X+3}
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
2
2
−
4
×
(
−
1
)
×
3
=
4
+
12
=
16
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=b^{2}-4ac\\&=2^{2}-4\times (-1)\times 3\\&=4+12\\&=16\end{aligned}}}
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
−
X
2
+
2
X
+
3
{\displaystyle -X^{2}+2X+3}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
x
1
=
−
b
−
Δ
2
a
=
−
2
−
16
−
2
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\&={\frac {-2-{\sqrt {16}}}{-2}}\\&=3\end{aligned}}}
x
2
=
−
b
+
Δ
2
a
=
−
2
+
16
−
2
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\&={\frac {-2+{\sqrt {16}}}{-2}}\\&=-1\end{aligned}}}
Le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. On en déduit le tableau de signes de ƒ'
x
−
∞
−
1
3
+
∞
Signe~de
f
′
(
x
)
−
0
+
0
−
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&3&&+\infty \\&&&&&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}
3. Tracer le tableau de variations de ƒ
x
−
∞
−
1
3
+
∞
S
i
g
n
e
d
e
f
′
(
x
)
−
+
−
33
Variations~de
f
↘
↗
↘
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&3&&+\infty \\\hline {\rm {Signe~de~}}f'(x)&&-&&+&&-&\\\hline &&&&&33&&\\{\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &\\&&&1&&&&\\\end{array}}}
