Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=x^{2}-2x-3$

1. Déterminer la fonction dérivée $f'$.

2. Compléter en justifiant le tableau de signes de $f'$ et le tableau de variations de $f$.

x	$-\infty$ $+\infty$
Signe de $f'(x)$
Variations de $f$

3. Calculer la valeur du minimum de $f$ sur $\mathbb {R}$.

Solution

1. Déterminer la fonction dérivée $f'$.

La fonction ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2x-2$

2. Compléter en justifiant le tableau de signes de $f'$ et le tableau de variations de $f$.

• Pour tout $x\in ]-\infty ;1[,~f'(x)<0$ donc ƒ est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty ;1[$
• Pour tout $x\in ]1;+\infty [,~f'(x)>0$ donc ƒ est strictement croissante sur l'intervalle $]1;+\infty [$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f'(x)&&-&0&+&\\\hline {\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &\\\end{array}}$

3. Calculer la valeur du minimum de $f$ sur $\mathbb {R}$

D'après le tableau de variations, le minimum de ƒ est atteint au point d'abscisse 1 et vaut $f(1)=-4$

 

Exercice 2

Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes sur $\mathbb {R}$.

• $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$
• $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$
• $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$
• $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$

Solution

• $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&\displaystyle {-{\frac {3}{4}}}&&+\infty \\&&&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{1}'(x)&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f_{1}&&\searrow &&\nearrow &\\&&&\displaystyle {-{\frac {1}{8}}}&&\\\end{array}}$

---

• $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{2}'(x)&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f_{2}&&\searrow &&\nearrow &\\&&&1&&\\\end{array}}$

---

• $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{3}'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&3&&\\{\textrm {Variations~de}}~f_{3}&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\end{array}}$

---

• $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&-\displaystyle {\frac {1}{6}}&&+\infty \\&&&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{4}'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&\displaystyle {\frac {1}{4}}&&\\{\textrm {Variations~de}}~f_{4}&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\end{array}}$

 

Exercice 3

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^{2}-2x+3$.

1. a) Déterminer la fonction dérivée $f'$.

b) Étudier le signe de $f'(x)$.

c) Étudier les variations de $f$ (on précisera le minimum de $f$).

2. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 2.

b) Quelle erreur absolue commet-on si on utilise cette approximation affine de $f$ pour $x=1{,}8$ ?

Solution

1. a) $f'(x)=2x-2$.

b) $f'(x)>0\Leftrightarrow x>1$.

c) $f$ est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en $x=1$ : $f(1)=2$.

2. a) $y=(x-2)f'(2)+f(2)=2(x-2)+3=2x-1$.

b) L'erreur absolue en $x$ est $f(x)-(2x-1)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$. En $x=1{,}8$, elle vaut donc $(-0{,}2)^{2}=0{,}04$.

 

Exercice 4

1. Soit $S$ un réel. Déterminer la valeur maximum de la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=x(S-x)$.
2. Soit $P$ un réel strictement positif. Quelle est la valeur minimum de la fonction $g$ définie sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ par $g(x)=x+{\frac {P}{x}}$ ?
3. Déduire de la question 1 que pour tous réels $x$ et $y$,

   $xy\leq {\frac {(x+y)^{2}}{4}}$.

4. Retrouver ce résultat à l'aide d'une identité remarquable
5. Déduire de la question 3 ou 4 l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels positifs $x$ et $y$,

   ${\sqrt {xy}}\leq {\frac {x+y}{2}}$.

Solution

1. $f'(x)=S-2x$ donc le maximum est $f\left({\tfrac {S}{2}}\right)={\frac {S^{2}}{4}}$.
2. D'après la question précédente, le minimum est atteint pour $x={\frac {P}{x}}$. Il vaut donc $2{\sqrt {P}}$. On peut d'ailleurs le retrouver par une étude directe ($g'(x)=1-{\frac {P}{x^{2}}}$).
3. D'après la question 1, pour tous réels $x$ et $S$ on a $x(S-x)\leq {\frac {S^{2}}{4}}$. Pour tous réels $x$ et $y$, en posant $S=x+y$, on en déduit : $xy\leq {\frac {(x+y)^{2}}{4}}$.
4. $(x+y)^{2}-4xy=(x-y)^{2}\geq 0$ donc $(x+y)^{2}\geq 4xy$, c'est-à-dire ${\frac {(x+y)^{2}}{4}}\geq xy$.
5. On applique la fonction racine carrée (croissante sur $\mathbb {R} _{+}$) de part et d'autre de l'inégalité précédente.