Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré

Étude de fonctions polynômes du second degré
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Exercices no9
Leçon : Fonction dérivée
Chapitre du cours : Dérivée et variations

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Formule de Taylor
Exo suiv. :Étude de fonctions polynômes du troisième degré
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Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré
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Exercice 1Modifier

Soit la fonction   définie sur   par pour tout  

1. Déterminer la fonction dérivée  .

2. Compléter en justifiant le tableau de signes de   et le tableau de variations de  .

x
   
Signe de  
Variations de  

3. Calculer la valeur du minimum de   sur  .

Exercice 2Modifier

Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes sur  .

  •  
  •  
  •  
  •  

Exercice 3Modifier

Soit la fonction   définie sur   par  

1. a) Déterminer la fonction dérivée  .

b) Étudier le signe de  .
c) Étudier les variations de   (on précisera le minimum de  ).

2. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de   au point d'abscisse 2.

b) Quelle erreur absolue commet-on si on utilise cette approximation affine de   pour   ?
c) Quelle est l'erreur relative correspondante ? (en pourcentages)

Exercice 4Modifier

  1. Soit   un réel. Déterminer la valeur maximum de la fonction   définie sur   par  .
  2. Soit   un réel strictement positif. Quelle est la valeur minimum de la fonction   définie sur   par   ?
  3. Déduire de la question 1 que pour tous réels   et  ,
     .
  4. Retrouver ce résultat à l'aide d'une identité remarquable
  5. Déduire de la question 3 ou 4 l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels positifs   et  ,
     .