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Exercice : Dérivée d'une fonction composéeFonction dérivée/Exercices/Dérivée d'une fonction composée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans chacun des cas suivants, dériver f {\displaystyle f} en utilisant une formule de dérivation spécifique , que l'on précisera.
f 1 : x ↦ ( 3 x − 1 5 x + 3 ) 3 {\displaystyle f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{3}} .
f 2 : x ↦ cos 2 x {\displaystyle f_{2}:x\mapsto \cos {\frac {2}{x}}} .
f 3 : x ↦ tan 4 x {\displaystyle f_{3}:x\mapsto \tan ^{4}x} .
f 4 : x ↦ x 1 / x {\displaystyle f_{4}:x\mapsto x^{1/x}} .
Solution
On pose u : x ↦ 3 x − 1 5 x + 3 {\displaystyle u:x\mapsto {\frac {3x-1}{5x+3}}} . On a :
f 1 = u 3 {\displaystyle f_{1}=u^{3}} ;
pour tout x ≠ − 3 5 {\displaystyle x\neq -{\frac {3}{5}}} , u ′ ( x ) = 3 ( 5 x + 3 ) − 5 ( 3 x − 1 ) ( 5 x + 3 ) 2 = 14 ( 5 x + 3 ) 2 {\displaystyle u'(x)={\frac {3(5x+3)-5(3x-1)}{(5x+3)^{2}}}={\frac {14}{(5x+3)^{2}}}} ;
n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} , ( u n ) ′ = n u n − 1 u ′ {\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'} .Donc pour tout x ≠ − 3 5 {\displaystyle x\neq -{\frac {3}{5}}} , f 1 ′ ( x ) = 3 ( 3 x − 1 5 x + 3 ) 2 14 ( 5 x + 3 ) 2 = 42 ( 3 x − 1 ) 2 ( 5 x + 3 ) 4 {\displaystyle f_{1}'(x)=3\left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{2}{\frac {14}{(5x+3)^{2}}}={\frac {42(3x-1)^{2}}{(5x+3)^{4}}}} .
On pose u : x ↦ 2 x {\displaystyle u:x\mapsto {\frac {2}{x}}} . On a :
f 2 = cos u {\displaystyle f_{2}=\cos u} ;
pour tout x ∈ R ∗ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}} , u ′ ( x ) = − 2 x 2 {\displaystyle u'(x)=-{\frac {2}{x^{2}}}} ;
( cos u ) ′ = − ( sin u ) u ′ {\displaystyle (\cos u)'=-(\sin u)u'} .Donc pour tout x ∈ R ∗ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}} , f 2 ′ ( x ) = − sin 2 x ( − 2 x 2 ) = 2 x 2 sin 2 x {\displaystyle f_{2}'(x)=-\sin {\frac {2}{x}}\left(-{\frac {2}{x^{2}}}\right)={\frac {2}{x^{2}}}\sin {\frac {2}{x}}} .
On pose u = tan {\displaystyle u=\tan } . On a :
f 3 = u 4 {\displaystyle f_{3}=u^{4}} ;
pour tout x ∈ R ∖ ( π 2 + π Z ) {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)} , u ′ ( x ) = 1 cos 2 ( x ) {\displaystyle u'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}} ;
n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} , ( u n ) ′ = n u n − 1 u ′ {\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'} .Donc pour tout x ∈ R ∖ ( π 2 + π Z ) {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)} , f 3 ′ ( x ) = 4 tan 3 x 1 cos 2 x = 4 sin 3 x cos 5 x {\displaystyle f_{3}'(x)=4\tan ^{3}x\;{\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {4\sin ^{3}x}{\cos ^{5}x}}} .
On pose u : x ↦ ln x x {\displaystyle u:x\mapsto {\frac {\ln x}{x}}} . On a :
f 4 = exp u {\displaystyle f_{4}=\exp u} ;
pour tout x > 0 {\displaystyle x>0} , u ′ ( x ) = 1 − ln x x 2 {\displaystyle u'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}} ;
( exp u ) ′ = ( exp u ) u ′ {\displaystyle (\exp u)'=(\exp u)u'} .Donc pour tout x > 0 {\displaystyle x>0} , f 4 ′ ( x ) = exp u 1 − ln ( x ) x 2 = x 1 / x 1 − ln x x 2 {\displaystyle f_{4}'(x)=\exp u{\frac {1-\ln(x)}{x^{2}}}=x^{1/x}{\frac {1-\ln x}{x^{2}}}} .
Dans chacun des cas suivants, dériver f {\displaystyle f} en utilisant une formule de dérivation spécifique , que l'on précisera.
f 1 : x ↦ ( 3 x + 1 5 x − 3 ) 3 {\displaystyle f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{3}} .
f 2 : x ↦ sin 2 x {\displaystyle f_{2}:x\mapsto \sin {\frac {2}{x}}} .
f 3 : x ↦ tan 3 x {\displaystyle f_{3}:x\mapsto \tan ^{3}x} .
f 4 : x ↦ e − 1 / x {\displaystyle f_{4}:x\mapsto \operatorname {e} ^{-1/x}} .
Solution
On pose u : x ↦ 3 x + 1 5 x − 3 {\displaystyle u:x\mapsto {\frac {3x+1}{5x-3}}} . On a :
f 1 = u 3 {\displaystyle f_{1}=u^{3}} ;
pour tout x ≠ 3 5 {\displaystyle x\neq {\frac {3}{5}}} , u ′ ( x ) = 3 ( 5 x − 3 ) − 5 ( 3 x + 1 ) ( 5 x − 3 ) 2 = − 14 ( 5 x − 3 ) 2 {\displaystyle u'(x)={\frac {3(5x-3)-5(3x+1)}{(5x-3)^{2}}}={\frac {-14}{(5x-3)^{2}}}} ;
n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} , ( u n ) ′ = n u n − 1 u ′ {\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'} .Donc pour tout x ≠ 3 5 {\displaystyle x\neq {\frac {3}{5}}} , f 1 ′ ( x ) = 3 ( 3 x + 1 5 x − 3 ) 2 − 14 ( 5 x − 3 ) 2 = − 42 ( 3 x + 1 ) 2 ( 5 x − 3 ) 4 {\displaystyle f_{1}'(x)=3\left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{2}{\frac {-14}{(5x-3)^{2}}}=-{\frac {42(3x+1)^{2}}{(5x-3)^{4}}}} .
On pose u : x ↦ 2 x {\displaystyle u:x\mapsto {\frac {2}{x}}} . On a :
f 2 = sin u {\displaystyle f_{2}=\sin u} ;
pour tout x ∈ R ∗ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}} , u ′ ( x ) = − 2 x 2 {\displaystyle u'(x)=-{\frac {2}{x^{2}}}} ;
( sin u ) ′ = ( cos u ) u ′ {\displaystyle (\sin u)'=(\cos u)u'} .Donc pour tout x ∈ R ∗ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}} , f 2 ′ ( x ) = cos 2 x ( − 2 x 2 ) = − 2 x 2 cos 2 x {\displaystyle f_{2}'(x)=\cos {\frac {2}{x}}\left(-{\frac {2}{x^{2}}}\right)=-{\frac {2}{x^{2}}}\cos {\frac {2}{x}}} .
On pose u = tan {\displaystyle u=\tan } . On a :
f 3 = u 3 {\displaystyle f_{3}=u^{3}} ;
pour tout x ∈ R ∖ ( π 2 + π Z ) {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)} , u ′ ( x ) = 1 cos 2 ( x ) {\displaystyle u'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}} ;
n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} , ( u n ) ′ = n u n − 1 u ′ {\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'} .Donc pour tout x ∈ R ∖ ( π 2 + π Z ) {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)} , f 3 ′ ( x ) = 3 tan 2 x 1 cos 2 x = 3 sin 2 x cos 4 x {\displaystyle f_{3}'(x)=3\tan ^{2}x\;{\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {3\sin ^{2}x}{\cos ^{4}x}}} .
On pose u : x ↦ − 1 x {\displaystyle u:x\mapsto -{\frac {1}{x}}} . On a :
f 4 = exp u {\displaystyle f_{4}=\exp u} ;
pour tout x ∈ R ∗ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}} , u ′ ( x ) = 1 x 2 {\displaystyle u'(x)={\frac {1}{x^{2}}}} ;
( exp u ) ′ = ( exp u ) u ′ {\displaystyle (\exp u)'=(\exp u)u'} .Donc pour tout x ∈ R ∗ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}} , f 4 ′ ( x ) = exp ( − 1 / x ) x 2 {\displaystyle f_{4}'(x)={\frac {\exp(-1/x)}{x^{2}}}} .