Fonction dérivée/Exercices/Approximation affine locale

Approximation affine locale
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Exercices no6
Leçon : Fonction dérivée
Chapitre du cours : Équation d'une tangente

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Dériver des fractions rationnelles
Exo suiv. :Dérivée d'une fonction composée
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Fonction dérivée/Exercices/Approximation affine locale
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Une approximation affine locale : cas économiqueModifier

La production d'une quantité x d'une marchandise coûte :

 

avec  .

Un chef d'entreprise utilise l'astuce suivante pour simplifier son calcul :

« Je multiplie la quantité par 15, je la divise par 4 et j'ajoute 26 pour obtenir le coût. »

On veut démontrer que son erreur ne dépasse pas 7 %.

1. Transformons la recette en formule mathématique :

pour tout  

2. Tracer le graphe des fonctions C et Capp. Que remarque-t-on ?

3. Déterminons une approximation affine de   autour de x = 4,

en assimilant la courbe de C à sa tangente au point d'abscisse x = 4

a. Calculer :
pour tout  
b. Calculer :

 

 

En déduire l'équation de la tangente en  
Pour tout  

4. Soit la fonction "erreur" définie par :

pour tout  .
Calculer :
pour tout  
pour tout  
x
Signe de e'(x)
Variations de e


5. Calculer   et   et conclure quant au problème de départ :