Fonction dérivée/Exercices/Dériver un polynôme

Dérivée d'un monôme

• $f:x\mapsto x^{2}$
  • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(1)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2x$
• $f'(1)=2$

 

• $f:x\mapsto x^{3}$
  • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(1)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=3x^{2}$
• $f'(1)=3$

 

• $f:x\mapsto x$
  • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(2)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=1$
• $f'(2)=1$

 

• $f:x\mapsto x^{4}$
  • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(3)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=4x^{3}$
• $f'(3)=108$

 

• $f:x\mapsto 1$
  • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(-2)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=0$
• $f'(-2)=0$

 

Constantes multiplicatives

Propriété

Si k est un réel et u une fonction dérivable sur I,

alors la fonction $k\times u$ est dérivable sur I et : $(k\times u)'=k\times u'$

Grâce à cette formule, les constantes multiplicatives sont "transparentes" à la dérivation.

• $f:x\mapsto 5x^{2}$
  • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(3)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=5\times 2x=10x$
• $f'(3)=30$

 

• $f:x\mapsto -6x$
  • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(2)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-6\times 1=-6$
• $f'(2)=-6$

 

• $f:x\mapsto -7x^{3}$
  • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
  • $f'\left({\frac {1}{3}}\right)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-7\times 3x^{2}=-21x^{2}$
• $f'\left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {7}{3}}$

 

Dérivée d'une somme

Propriété

Si les fonctions u et v sont dérivables sur I,

alors la fonction $u+v$ l'est aussi et : $(u+v)'=u'+v'$.

Grâce à cette formule, pour dériver une somme, on dérive chaque terme séparément.

1. $f:x\mapsto 2x^{2}-3x$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'(1)=\cdots$
2. $f:x\mapsto 2x^{2}-3x+4$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'(3)=\cdots$
3. $f:x\mapsto {\frac {1}{3}}x^{2}-6x+3$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'\left({\frac {2}{5}}\right)=\cdots$
4. $f:x\mapsto {\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {5}{7}}x-12$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'(2)=\cdots$
5. $f:x\mapsto 7x^{3}-{\frac {2}{3}}x^{2}+x-7$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'(-2)=\cdots$
6. $f:x\mapsto 7{\frac {x^{3}}{5}}-5x^{2}+x-{\frac {7}{8}}$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'(2)=\cdots$
7. $f:x\mapsto -2x^{2}+3x-7$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'\left({\frac {1}{2}}\right)=\cdots$
8. $f:x\mapsto -2x^{3}+3x^{2}-7x+2$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'\left({\frac {2}{3}}\right)=\cdots$
9. $f:x\mapsto -x^{3}-3x$.
   • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
   • $f'\left({\frac {2}{7}}\right)=\cdots$
10. $f:x\mapsto 13x^{2}-2-7x-7$
    • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
    • $f'\left(-{\frac {1}{6}}\right)=\cdots$

Solution

1. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\times 2x-3\times 1=4x-3$.
   • $f'(1)=1$.
2. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\times 2x-3\times 1+0=4x-3$.
   • $f'(3)=9$.
3. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {1}{3}}\times 2x-6\times 1+0={\frac {2}{3}}x-6$.
   • $f'\left({\frac {2}{5}}\right)=-{\frac {86}{15}}$.
4. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {1}{3}}\times 2x+{\frac {5}{7}}\times 1-0={\frac {2}{3}}x+{\frac {5}{7}}$.
   • $f'(2)={\frac {4}{3}}+{\frac {5}{7}}={\frac {43}{21}}$.
5. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=7\times 3x^{2}-{\frac {2}{3}}\times 2x+1+0=21x^{2}-{\frac {4}{3}}x+1$.
   • $f'(-2)={\frac {115}{3}}$.
6. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {7}{5}}\times 3x^{2}-5\times 2x+1={\frac {21}{5}}x^{2}-10x+1$.
   • $f'(2)=-{\frac {11}{5}}$
7. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-4x+3$.
   • $f'\left({\frac {1}{2}}\right)=1$.
8. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-6x^{2}+6x-7$.
   • $f'\left({\frac {2}{3}}\right)=-{\frac {17}{3}}$.
9. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-3x^{2}-3$.
   • $f'\left({\frac {2}{7}}\right)=-{\frac {159}{49}}$.
10. • Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=26x-7$.
    • $f'\left(-{\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {34}{3}}$.

 

Avec des racines carrées

• $f:x\mapsto {\sqrt {x}}$
  • Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(6)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
• $f'(6)={\frac {1}{2{\sqrt {6}}}}={\frac {\sqrt {6}}{12}}$

 

• $f:x\mapsto 5{\sqrt {x}}$
  • Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(3)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {5}{2{\sqrt {x}}}}$
• $f'(3)={\frac {5{\sqrt {3}}}{6}}$

 

• $f:x\mapsto {\frac {3}{2}}{\sqrt {x}}+2x-2$
  • Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots$
  • $f'(4)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {3}{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+2={\frac {3}{4{\sqrt {x}}}}+2$
• $f'(4)={\frac {19}{8}}$.