Fonction dérivée/Exercices/Dériver des fractions rationnelles

Les fonctions suivantes sont des quotients de polynômes qu'on appelle fonctions (ou fractions) rationnelles. Nous allons les dériver en utilisant le théorème du cours sur la dérivée d'un quotient.

Exercice 5-1

$f:x\mapsto {\frac {-2x+1}{x+3}}$.

ƒ est définie et dérivable sur $D=\cdots$

Pour tout $x\in D,~u(x)=\cdots$

Nature de la fonction u : $\cdots$

Pour tout $x\in D,~v(x)=\cdots$

Nature de la fonction v : $\cdots$

Pour tout $x\in D,~u'(x)=\cdots$

Nature de la fonction u' : $\cdots$

Pour tout $x\in D,~v'(x)=\cdots$

Nature de la fonction v' : $\cdots$

Pour tout $x\in D,~f'(x)=\cdots$

Solution

$f$ est définie et dérivable sur $D=\mathbb {R} \backslash \{-3\}$.

Pour tout $x\in D$, $u(x)=-2x+1$ et $v(x)=x+3$.

$u$ et $v$ sont des fonctions affines.

Pour tout $x\in D$, $u'(x)=-2$ et $v'(x)=1$.

$u'$ et $v'$ sont des fonctions constantes.

Pour tout $x\in D$,

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}}\\&={\frac {-2(x+3)-(-2x+1)\times 1}{(x+3)^{2}}}\\&={\frac {-2x-6+2x-1}{(x+3)^{2}}}\\&={\frac {-7}{(x+3)^{2}}}.\end{aligned}}$

 

Remarque

Lorsque numérateur et dénominateur sont affines, la fonction rationnelle est dite homographique, et les x se simplifient toujours au numérateur quand on dérive.

Exercice 5-2

$f:x\mapsto {\frac {x}{x^{2}+1}}$

ƒ est définie et dérivable sur $I=\cdots$

Pour tout $x\in I,~u(x)=\cdots$

Nature de la fonction u : $\cdots$

Pour tout $x\in I,~v(x)=\cdots$

Nature de la fonction v : $\cdots$

Pour tout $x\in I,~u'(x)=\cdots$

Nature de la fonction u' : $\cdots$

Pour tout $x\in I,~v'(x)=\cdots$

Nature de la fonction v' : $\cdots$

Pour tout $x\in I,~f'(x)=\cdots$

Solution

ƒ est définie et dérivable sur $I=\mathbb {R}$.

Pour tout $x\in I,~u(x)=x$

Nature de la fonction u : Fonction affine

Pour tout $x\in I,~v(x)=x^{2}+1$

Nature de la fonction v : Fonction polynomiale

Pour tout $x\in I,~u'(x)=1$

Nature de la fonction u' : Constante

Pour tout $x\in I,~v'(x)=2x$

Nature de la fonction v' : Fonction affine

Pour tout $x\in I$

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}}\\&={\frac {1\times (x^{2}+1)-x\times 2x}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 5-3

$f:x\mapsto {\frac {x^{2}-3x}{-2x+1}}$

ƒ est définie et dérivable sur $D=\cdots$

Pour tout $x\in D,~u(x)=\cdots$

Nature de la fonction u : $\cdots$

Pour tout $x\in D,~v(x)=\cdots$

Nature de la fonction v : $\cdots$

Pour tout $x\in D,~u'(x)=\cdots$

Nature de la fonction u' : $\cdots$

Pour tout $x\in D,~v'(x)=\cdots$

Nature de la fonction v' : $\cdots$

Pour tout $x\in D,~f'(x)=\cdots$

Solution

ƒ est définie et dérivable sur $D=\mathbb {R} \backslash \left\{{\frac {1}{2}}\right\}$

Pour tout $x\in D,~u(x)=x^{2}-3x$

Nature de la fonction u : Fonction polynomiale

Pour tout $x\in D,~v(x)=-2x+1$

Nature de la fonction v : Fonction affine

Pour tout $x\in D,~u'(x)=2x-3$

Nature de la fonction u' : Fonction affine

Pour tout $x\in D,~v'(x)=-2$

Nature de la fonction v' : Constante

Pour tout $x\in D$,

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}}\\&={\frac {(2x-3)\times (-2x+1)-(x^{2}-3x)\times (-2)}{(-2x+1)^{2}}}\\&={\frac {+2x^{2}+2x-3}{(-2x+1)^{2}}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 5-4

On pose :

$A_{n}(x)=1+2x+\cdots +nx^{n-1}$ ;

$B_{n}(x)=1\times 2+2\times 3x+\cdots +n(n+1)x^{n-1}$ ;

$C_{n}(x)=1+1^{2}x+2^{2}x^{2}\cdots +n^{2}x^{n}$.

1°  Déterminer la primitive $F_{n}$ de $A_{n}$ qui est égale à $1$ pour $x=0$. En déduire une expression de $A_{n}(x)$.

2°  Démontrer que $B_{n}(x)=A_{n+1}'(x)$, et que :

$C_{n}(x)=1+xA_{n}(x)+x^{2}A_{n}'(x)$.

3°  En déduire des expressions de $B_{n}(x)$ et $C_{n}(x)$.

Solution

Si $x\neq 1$ :

1. $F_{n}(x)=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$ donc $A_{n}(x)=F'_{n}(x)={\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}$.
2. • $A_{n+1}(x)=\sum _{k=0}^{n}(k+1)x^{k}$ donc $A'_{n+1}(x)=\sum _{k=1}^{n}k(k+1)x^{k-1}=B_{n}(x)$.
   • $1+xA_{n}(x)+x^{2}A_{n}'(x)=1+\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)x^{k+1}+\sum _{k=1}^{n-1}k(k+1)x^{k+1}=1+x+\sum _{k=1}^{n-1}(k+1)^{2}x^{k+1}=C_{n}(x)$.
3. • $B_{n}(x)=A'_{n+1}(x)=\left({\frac {(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+1}{(x-1)^{2}}}\right)'$

   $={\frac {(n+1)nx^{n+2}-2n(n+2)x^{n+1}+(n+2)(n+1)x^{n}-2}{(x-1)^{3}}}$ ;

   • $C_{n}(x)=1+x{\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}+x^{2}{\frac {n(n-1)x^{n+1}-2(n^{2}-1)x^{n}+(n+1)nx^{n-1}-2}{(x-1)^{3}}}$.

   $={\frac {n^{2}x^{n+3}+(-2n^{2}-2n+1)x^{n+2}+(n+1)^{2}x^{n+1}+x^{3}-4x^{2}+2x-1}{(x-1)^{3}}}$.