Fonction dérivée/Exercices/Dériver des fractions rationnelles

Dériver des fractions rationnelles
Image logo représentative de la faculté
Exercices no5
Leçon : Fonction dérivée
Chapitre du cours : Dérivée d'un quotient

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Dériver un polynôme
Exo suiv. :Approximation affine locale
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dériver des fractions rationnelles
Fonction dérivée/Exercices/Dériver des fractions rationnelles
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Les fonctions suivantes sont des quotients de polynômes qu'on appelle fonctions (ou fractions) rationnelles. Nous allons les dériver en utilisant le théorème du cours sur la dérivée d'un quotient.

Exercice 5-1Modifier

 .

ƒ est définie et dérivable sur  
Pour tout  
Nature de la fonction u :  
Pour tout  
Nature de la fonction v :  
Pour tout  
Nature de la fonction u' :  
Pour tout  
Nature de la fonction v' :  
Pour tout  
Remarque
Lorsque numérateur et dénominateur sont affines, la fonction rationnelle est dite homographique, et les x se simplifient toujours au numérateur quand on dérive.

Exercice 5-2Modifier

 

ƒ est définie et dérivable sur  
Pour tout  
Nature de la fonction u :  
Pour tout  
Nature de la fonction v :  
Pour tout  
Nature de la fonction u' :  
Pour tout  
Nature de la fonction v' :  
Pour tout  

Exercice 5-3Modifier

 

ƒ est définie et dérivable sur  
Pour tout  
Nature de la fonction u :  
Pour tout  
Nature de la fonction v :  
Pour tout  
Nature de la fonction u' :  
Pour tout  
Nature de la fonction v' :  
Pour tout  

Exercice 5-4Modifier

On pose :

  ;
  ;
 .

 Déterminer la primitive   de   qui est égale à   pour  . En déduire une expression de  .

 Démontrer que  , et que :

 .

 En déduire des expressions de   et  .