Fonction exponentielle/Exercices/Équations comportant des exponentielles

Objectif : On se propose de résoudre un certain nombre d'équations où l'inconnue $x$ est toujours « dans une exponentielle ».

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Principe général : On change d'inconnue en posant $X=\operatorname {e} ^{x}$, on résout en $X$ puis avec $\ln$, on revient à l'inconnue de départ $x$.

NB : il faut garder à l'esprit que X devra être positif pour pouvoir trouver des solutions car c’est une exponentielle.

Équations se ramenant au premier degré

Exemple

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E1)~:~3\operatorname {e} ^{x}=5\operatorname {e} ^{x+1}-2$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

$(E1)\Leftrightarrow 3\operatorname {e} ^{x}=5\operatorname {e} ^{x}\times \mathrm {e} -2$.

On pose $X=\operatorname {e} ^{x}$. On obtient $(E1)\Leftrightarrow 3X=5\mathrm {e} X-2$.

NB : il n'y a plus d'exposant $x$ , le nombre e (constant) ne gêne nullement la résolution. Il s'agit maintenant d'une équation du premier degré d'inconnue $X$.

${\begin{aligned}(E1)&\Leftrightarrow 2=(5\mathrm {e} -3)X\\&\Leftrightarrow X={\frac {2}{5\mathrm {e} -3}}\end{aligned}}$

On revient à $x$ grâce à la fonction logarithme :

$x=\ln X=\ln {\frac {2}{5\mathrm {e} -3}}\approx -1{,}67$.

 

Exercice

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E2)~:~\operatorname {e} ^{x+2}=3\operatorname {e} ^{x}+5$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

$(E2)\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}\times \operatorname {e} ^{2}=3\operatorname {e} ^{x}+5$.

On pose $X=\operatorname {e} ^{x}$. On obtient

${\begin{aligned}(E2)&\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{2}X=3X+5\\&\Leftrightarrow (\operatorname {e} ^{2}-3)X=5\\&\Leftrightarrow X={\frac {5}{\operatorname {e} ^{2}-3}}.\end{aligned}}$

Comme ${\frac {5}{\operatorname {e} ^{2}-3}}>0$, on peut utiliser la fonction $\ln$ pour trouver la solution de (E2) :

$x=\ln X=\ln {\frac {5}{\operatorname {e} ^{2}-3}}$.

 

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E3)~:~{\frac {1}{2\operatorname {e} ^{-x}+2}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}}{2\operatorname {e} ^{x}+2}}$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

$2\operatorname {e} ^{x}+2\neq 0$ et $2\operatorname {e} ^{-x}+2\neq 0$ donc les quotients n'engendrent pas de restriction particulière.

${\begin{aligned}(E3)&\Leftrightarrow {\frac {1}{\operatorname {e} ^{-x}+1}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}}{\operatorname {e} ^{x}+1}}\\&\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}+1=\operatorname {e} ^{x}(\operatorname {e} ^{-x}+1)\\&\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}+1=1+\operatorname {e} ^{x}.\end{aligned}}$

On remarque alors que cette assertion est vérifiée pour tout $x\in \mathbb {R}$ !

L'ensemble des solutions de (E3) est donc $S_{3}=\mathbb {R}$.

 

Équations se ramenant au second degré

Exemple

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E4)~:~-2\operatorname {e} ^{2x}+5\operatorname {e} ^{x}+3=0$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

$(E4)\Leftrightarrow -2(\operatorname {e} ^{x})^{2}+5\operatorname {e} ^{x}+3=0$.

On pose $X=\operatorname {e} ^{x}$. On a alors $(E4)\Leftrightarrow -2X^{2}+5X+3=0$.

C'est une équation du second degré en X de discriminant $\Delta =49>0$. Elle admet donc deux racines réelles $X_{1}=3$ et $X_{2}=-{\frac {1}{2}}$.

On revient à l'inconnue x grâce à la fonction logarithme : $x_{1}=\ln X_{1}=\ln 3\approx 1{,}1$ et $x_{2}=\ln(-0{,}5)$, qui n'est pas défini.

L'unique solution de (E4) est donc $\ln 3$.

NB : on peut aussi dire pour x₂ « il n'y a pas de nombre x₂ dont l'exponentielle soit -0,5, car une exponentielle est toujours positive ».

 

Exercices

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E5)~:~-2\operatorname {e} ^{2x+1}+7\operatorname {e} ^{x}=3$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

$(E5)\Leftrightarrow -2\mathrm {e} ~(\operatorname {e} ^{x})^{2}+7\operatorname {e} ^{x}-3=0$.

On pose $X=\operatorname {e} ^{x}$ : $(E5)\Leftrightarrow -2\mathrm {e} X^{2}+7X-3=0$.

Le discriminant de cette équation du second degré en X est $\Delta =7^{2}-4\times (-2\mathrm {e} )\times (-3)=49-24\mathrm {e} <0$.

Cette équation du second degré en X n'admet donc pas de racine réelle.

L'ensemble des solutions de (E5) est $S_{5}=\varnothing$.

 

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E6)~:~(\operatorname {e} ^{x}+3)(\operatorname {e} ^{x}-5)=0$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs (au moins) est nul, donc

${\begin{aligned}(E6)&\Leftrightarrow ((\operatorname {e} ^{x}+3=0)~{\textrm {ou}}~(\operatorname {e} ^{x}-5=0))\\&\Leftrightarrow ((\operatorname {e} ^{x}=-3){\text{ ou }}(\operatorname {e} ^{x}=5)).\end{aligned}}$

Comme l'équation $\operatorname {e} ^{x}=-3$ d'inconnue x n'admet pas de solution,

l'unique solution de (E6) est $\ln 5$.

 

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E7)~:~\operatorname {e} ^{2x}+\operatorname {e} ^{x}+1=0$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$. On pose $X=\operatorname {e} ^{x}$.

$(E7)\Leftrightarrow X^{2}+X+1=0$.

Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta =-3$, donc n'admet aucune racine réelle.

L'ensemble des solutions de (E7) est donc $S_{7}=\varnothing$.

 

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E8)~:~\operatorname {e} ^{x}-2\operatorname {e} ^{-x}=1$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$. On pose $X=\operatorname {e} ^{x}$ (donc $X>0$).

Alors, $(E8)\Leftrightarrow X-{\frac {2}{X}}=1\Leftrightarrow X^{2}-X-2=0\Leftrightarrow X=2$ (car l'autre solution, $-1<0$, est exclue).

L'unique solution de (E8) est $\ln 2$.

 

Système avec exponentielles se ramenant à des systèmes linéaires

Exercice

Résoudre

$(S)~:~{\begin{cases}\operatorname {e} ^{x}+3\operatorname {e} ^{y}=5\\2\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{y}=3.\end{cases}}$

Solution

Soit $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$.

On pose $X=\operatorname {e} ^{x}$ et $Y=\operatorname {e} ^{y}$.

$(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}X+3Y=5\\2X-Y=3.\end{cases}}$

On résout le système avec une méthode au choix et l'on trouve pour solution unique $(X,Y)=(2,1)$.

On revient à (x, y) grâce à la fonction $\ln$ : $(x,y)=(\ln X,\ln Y)$.

L'unique solution de (S) est $(\ln 2,0)$.

 

Lien externe

« Solveur d'équation », sur dcode.fr