Fonction exponentielle/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Méthode générale

Début d’un principe

Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant

On prend le $\ln$ pour faire « descendre » l’exposant.

Lorsqu'on manipule des inégalités, il faut prendre garde au changement de sens éventuel de l'inégalité si l'on est amené à diviser par le logarithme d'un nombre inférieur à 1, car un tel logarithme est négatif.

Fin du principe

Équations

Exercice 2-1

Existe-t-il un entier $n$ tel que $3^{n}=14348907$ ?

Solution

$3^{n}=14348907\Leftrightarrow n\ln 3=\ln 14348907\Leftrightarrow n={\frac {\ln 14348907}{\ln 3}}=15$. Ou moins savamment : en divisant 14348907 15 fois de suite par 3, on finit par tomber sur 1.

 

Exercice 2-2

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations

1. ${\frac {1}{\operatorname {e} ^{x^{2}+x}}}={\frac {1}{12}}\operatorname {e} ^{2x^{2}+x}$ ;
2. ${\frac {2}{\operatorname {e} ^{-x^{2}-2x}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{3x^{2}+x}$.

Solution

1. ${\frac {1}{\operatorname {e} ^{x^{2}+x}}}={\frac {1}{12}}\operatorname {e} ^{2x^{2}+x}\Leftrightarrow 12=\operatorname {e} ^{3x^{2}}\Leftrightarrow 3x^{2}=\ln(12)\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {\frac {\ln(12)}{3}}}$.
2. ${\frac {2}{\operatorname {e} ^{-x^{2}-2x}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{3x^{2}+x}\Leftrightarrow 4=\operatorname {e} ^{2x^{2}}\Leftrightarrow 2x^{2}=\ln 4\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {\frac {\ln 4}{2}}}=\pm {\sqrt {\ln 2}}$.

 

Exercice 2-3

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations

1. $3^{x}=19683$ ;
2. $5^{x}=19100$ ;
3. $5\cdot (2{,}5)^{x}=411111$.

Solution

1. $3^{x}=19683\Leftrightarrow 3^{x}=3^{9}\Leftrightarrow x=9$.
2. $5^{x}=19100\Leftrightarrow 5^{x-2}=764\Leftrightarrow x=2+{\frac {\ln 764}{\ln 5}}\approx 6{,}12477$.
3. $5\cdot (2{,}5)^{x}=411111\Leftrightarrow 2{,}5^{x}={\frac {411111}{5}}\Leftrightarrow 2{,}5^{x}=82222{,}2\Leftrightarrow x={\frac {\ln 82222{,}2}{\ln 2{,}5}}\Rightarrow x\approx 12{,}3$.

 

Exercice 2-4

On note $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{10}$ les pressions atmosphériques, un jour donné, aux altitudes 0, 100, 200, et 1 000 mètres.

La pression atmosphérique diminue approximativement de 1 % lorsqu’on s’élève de 100 mètres. Ce jour-là, $u_{0}=$ 1 000 hP.

1. Calculer $u_{n}$ en fonction de $n$. Que représente ce nombre ?

2. Déterminer, en fonction de l’altitude $x$ en centaines de mètres, la pression $p(x)$.

3. Le baromètre d’un ermite marque 950 hP. À quelle altitude se trouve-t-il ?

Solution

1. $u_{n}=1\,000\left(0{,}99\right)^{n}$. Ce nombre représente la pression à l'altitude 100n mètres

2. $p(x)=1\,000\left(0{,}99\right)^{x}$.

3.

${\begin{aligned}1\,000\left(0{,}99\right)^{x}=950&\Leftrightarrow \left(0{,}99\right)^{x}=0{,}95\\&\Leftrightarrow x={\frac {\ln 0{,}95}{\ln 0{,}99}}\\&\Rightarrow x\approx 5{,}10.\end{aligned}}$

L'ermite se trouve donc à environ 510 mètres.

 

Inéquations

ln est croissante. On peut donc prendre le ln des deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l’inégalité.

Exercice 2-5

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'inéquation $5\operatorname {e} ^{2x^{2}}\geq 15$.

Solution

$5\operatorname {e} ^{2x^{2}}\geq 15\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{2x^{2}}\geq 3\Leftrightarrow 2x^{2}\geq \ln 3\Leftrightarrow x\geq {\sqrt {\frac {\ln 3}{2}}}$ ou $x\leq -{\sqrt {\frac {\ln 3}{2}}}$.

 

Exercice 2-6

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les inéquations

1. $(1{,}5)^{x}>15678$ ;
2. $(0{,}7)^{x}>0{,}000006$ ;
3. $5^{x}<2{,}105647$ ;
4. $\left({\frac {3}{5}}\right)^{x}<0{,}000003$.

Solution

1. $(1{,}5)^{x}>15678\Leftrightarrow \ln \left(((1{,}5)^{x}\right)>\ln 15678\Leftrightarrow x~\ln 1{,}5>\ln 15678$.
   $\ln 1{,}5>0$ donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :
   $(1{,}5)^{x}>15678\Leftrightarrow x>{\frac {\ln 15678}{\ln 1{,}5}}\approx 23,8$.
   L'ensemble des solutions est : $\left]{\frac {\ln 15678}{\ln 1{,}5}},+\infty \right[$.
2. $(0{,}7)^{x}>0{,}000006\Leftrightarrow \ln \left((0{,}7)^{x}\right)>\ln 0{,}000006\Leftrightarrow x~\ln 0{,}7>\ln 0{,}000006$.
   $\ln 0{,}7<0$ donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :
   $(0{,}7)^{x}>0{,}000006\Leftrightarrow x<{\frac {\ln 0{,}000006}{\ln 0{,}7}}\approx 33{,}7$.
   L'ensemble des solutions est : $\left]-\infty ,{\frac {\ln 0{,}000006}{\ln 0{,}7}}\right[$.
3. $5^{x}<2{,}105647\Leftrightarrow \ln \left(5^{x}\right)<\ln 2{,}105647\Leftrightarrow x~\ln 5<\ln 2{,}105647$.
   $\ln 5>0$ donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :
   $5^{x}<2{,}105647\Leftrightarrow x<{\frac {\ln 2{,}105647}{\ln 5}}\approx 0{,}46$.
   L'ensemble des solutions est : $\left]-\infty ,{\frac {\ln 2{,}105647}{\ln 5}}\right[$.
4. $\left({\frac {3}{5}}\right)^{x}<0{,}000003\Leftrightarrow \ln \left(\left(0{,}6\right)^{x}\right)<\ln 0{,}000003\Leftrightarrow x~\ln 0{,}6<\ln 0{,}000003$.
   $\ln 0{,}6<0$ donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :
   $\left({\frac {3}{5}}\right)^{x}<0{,}000003\Leftrightarrow x>{\frac {\ln 0{,}000003}{\ln 0{,}6}}\approx 24{,}9$.
   L'ensemble des solutions est : $\left]{\frac {\ln 0{,}000003}{\ln 0{,}6}},+\infty \right[$.

 

Exercice 2-7

Un capital de 2 000 € est placé à intérêts composés à un taux annuel de 10 %.

Combien d'années faudra-t-il pour que la somme placée dépasse 13 454 € ?

Solution

${\begin{aligned}2\,000\cdot 1{,}1^{n}\geq 13\,454&\Leftrightarrow 1{,}1^{n}\geq {\frac {13\,454}{2\,000}}\\&\Leftrightarrow 1{,}1^{n}\geq 6{,}727\\&\Leftrightarrow n\geq {\frac {\ln 6{,}727}{\ln 1{,}1}}.\end{aligned}}$

${\frac {\ln 6{,}727}{\ln 1{,}1}}\approx 19{,}999$ donc le placement dépassera les 13 454 € au bout de 20 ans.

 

Exercice 2-8

Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de 35 000 € à 12 % l’an, le second de 40 000 € à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second.

Solution

Au terme de l'année i, les placements vaudront :

• $C_{1}(i)=35\,000\cdot 1{,}12^{i}$ pour le premier placement
• $C_{2}(i)=40\,000\cdot 1{,}09^{i}$ pour le deuxième placement

On cherche à déterminer à partir de quelle valeur de i on aura $C_{1}(i)\geq C_{2}(i)$

Soit $i\in \mathbb {N}$

${\begin{aligned}C_{1}(i)\geq C_{2}(i)&\Leftrightarrow 35\,000\cdot 1{,}12^{i}\geq 40\,000\cdot 1{,}09^{i}\\&\Leftrightarrow \left({\frac {1,12}{1,09}}\right)^{i}\geq {\frac {40\,000}{35\,000}}\\&\Leftrightarrow \left({\frac {112}{109}}\right)^{i}\geq {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow \ln \left(\left({\frac {112}{109}}\right)^{i}\right)\geq \ln {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow i\ln {\frac {112}{109}}\geq \ln {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow i\geq {\frac {\ln {\frac {8}{7}}}{\ln {\frac {112}{109}}}}.\end{aligned}}$

On a ${\frac {\ln {\frac {8}{7}}}{\ln {\frac {112}{109}}}}\approx 4{,}92$.

Le premier placement dépassera donc le second au bout de 5 ans.

 

Exercice 2-9

Combien de chiffres le nombre $2^{500}$ possède-t-il ?

Solution

Soit $n$ son nombre de chiffres.

$10^{n-1}\leq 2^{500}<10^{n}\Leftrightarrow n-1\leq {\frac {500\ln 2}{\ln 10}}<n\Leftrightarrow n=1+\left\lfloor {\frac {500\ln 2}{\ln 10}}\right\rfloor =151$.