En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposantFonction exponentielle/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Début d’un principe
Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant
On prend le
ln
{\displaystyle \ln }
Lorsqu'on manipule des inégalités, il faut prendre garde au changement de sens éventuel de l'inégalité si l'on est amené à diviser par le logarithme d'un nombre inférieur à 1, car un tel logarithme est négatif.
Fin du principe
Existe-t-il un entier
n
{\displaystyle n}
3
n
=
14348907
{\displaystyle 3^{n}=14348907}
Solution
3
n
=
14348907
⇔
n
ln
3
=
ln
14348907
⇔
n
=
ln
14348907
ln
3
=
15
{\displaystyle 3^{n}=14348907\Leftrightarrow n\ln 3=\ln 14348907\Leftrightarrow n={\frac {\ln 14348907}{\ln 3}}=15}
Résoudre dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
1
e
x
2
+
x
=
1
12
e
2
x
2
+
x
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {e} ^{x^{2}+x}}}={\frac {1}{12}}\operatorname {e} ^{2x^{2}+x}}
2
e
−
x
2
−
2
x
=
1
2
e
3
x
2
+
x
{\displaystyle {\frac {2}{\operatorname {e} ^{-x^{2}-2x}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{3x^{2}+x}}
Solution
1
e
x
2
+
x
=
1
12
e
2
x
2
+
x
⇔
12
=
e
3
x
2
⇔
3
x
2
=
ln
(
12
)
⇔
x
=
±
ln
(
12
)
3
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {e} ^{x^{2}+x}}}={\frac {1}{12}}\operatorname {e} ^{2x^{2}+x}\Leftrightarrow 12=\operatorname {e} ^{3x^{2}}\Leftrightarrow 3x^{2}=\ln(12)\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {\frac {\ln(12)}{3}}}}
2
e
−
x
2
−
2
x
=
1
2
e
3
x
2
+
x
⇔
4
=
e
2
x
2
⇔
2
x
2
=
ln
4
⇔
x
=
±
ln
4
2
=
±
ln
2
{\displaystyle {\frac {2}{\operatorname {e} ^{-x^{2}-2x}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{3x^{2}+x}\Leftrightarrow 4=\operatorname {e} ^{2x^{2}}\Leftrightarrow 2x^{2}=\ln 4\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {\frac {\ln 4}{2}}}=\pm {\sqrt {\ln 2}}}
Résoudre dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
3
x
=
19683
{\displaystyle 3^{x}=19683}
5
x
=
19100
{\displaystyle 5^{x}=19100}
5
⋅
(
2
,
5
)
x
=
411111
{\displaystyle 5\cdot (2{,}5)^{x}=411111}
Solution
3
x
=
19683
⇔
3
x
=
3
9
⇔
x
=
9
{\displaystyle 3^{x}=19683\Leftrightarrow 3^{x}=3^{9}\Leftrightarrow x=9}
5
x
=
19100
⇔
5
x
−
2
=
764
⇔
x
=
2
+
ln
764
ln
5
≈
6,124
77
{\displaystyle 5^{x}=19100\Leftrightarrow 5^{x-2}=764\Leftrightarrow x=2+{\frac {\ln 764}{\ln 5}}\approx 6{,}12477}
5
⋅
(
2
,
5
)
x
=
411111
⇔
2
,
5
x
=
411111
5
⇔
2
,
5
x
=
82222
,
2
⇔
x
=
ln
82222
,
2
ln
2
,
5
⇒
x
≈
12
,
3
{\displaystyle 5\cdot (2{,}5)^{x}=411111\Leftrightarrow 2{,}5^{x}={\frac {411111}{5}}\Leftrightarrow 2{,}5^{x}=82222{,}2\Leftrightarrow x={\frac {\ln 82222{,}2}{\ln 2{,}5}}\Rightarrow x\approx 12{,}3}
On note
u
0
,
u
1
,
u
2
,
…
,
u
10
{\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{10}}
La pression atmosphérique diminue approximativement de 1 % lorsqu’on s’élève de 100 mètres. Ce jour-là,
u
0
=
{\displaystyle u_{0}=}
1 000 hP .
1. Calculer
u
n
{\displaystyle u_{n}}
n
{\displaystyle n}
2. Déterminer, en fonction de l’altitude
x
{\displaystyle x}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
3. Le baromètre d’un ermite marque 950 hP . À quelle altitude se trouve-t-il ?
Solution
1.
u
n
=
1
000
(
0
,
99
)
n
{\displaystyle u_{n}=1\,000\left(0{,}99\right)^{n}}
n mètres2.
p
(
x
)
=
1
000
(
0
,
99
)
x
{\displaystyle p(x)=1\,000\left(0{,}99\right)^{x}}
3.
1
000
(
0
,
99
)
x
=
950
⇔
(
0
,
99
)
x
=
0
,
95
⇔
x
=
ln
0
,
95
ln
0
,
99
⇒
x
≈
5
,
10.
{\displaystyle {\begin{aligned}1\,000\left(0{,}99\right)^{x}=950&\Leftrightarrow \left(0{,}99\right)^{x}=0{,}95\\&\Leftrightarrow x={\frac {\ln 0{,}95}{\ln 0{,}99}}\\&\Rightarrow x\approx 5{,}10.\end{aligned}}}
L'ermite se trouve donc à environ 510 mètres.
ln est croissante. On peut donc prendre le ln des deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l’inégalité.
Résoudre dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
5
e
2
x
2
≥
15
{\displaystyle 5\operatorname {e} ^{2x^{2}}\geq 15}
Solution
5
e
2
x
2
≥
15
⇔
e
2
x
2
≥
3
⇔
2
x
2
≥
ln
3
⇔
x
≥
ln
3
2
{\displaystyle 5\operatorname {e} ^{2x^{2}}\geq 15\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{2x^{2}}\geq 3\Leftrightarrow 2x^{2}\geq \ln 3\Leftrightarrow x\geq {\sqrt {\frac {\ln 3}{2}}}}
x
≤
−
ln
3
2
{\displaystyle x\leq -{\sqrt {\frac {\ln 3}{2}}}}
Résoudre dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(
1
,
5
)
x
>
15678
{\displaystyle (1{,}5)^{x}>15678}
(
0
,
7
)
x
>
0,000
006
{\displaystyle (0{,}7)^{x}>0{,}000006}
5
x
<
2,105
647
{\displaystyle 5^{x}<2{,}105647}
(
3
5
)
x
<
0,000
003
{\displaystyle \left({\frac {3}{5}}\right)^{x}<0{,}000003}
Solution
(
1
,
5
)
x
>
15678
⇔
ln
(
(
(
1
,
5
)
x
)
>
ln
15678
⇔
x
ln
1
,
5
>
ln
15678
{\displaystyle (1{,}5)^{x}>15678\Leftrightarrow \ln \left(((1{,}5)^{x}\right)>\ln 15678\Leftrightarrow x~\ln 1{,}5>\ln 15678}
ln
1
,
5
>
0
{\displaystyle \ln 1{,}5>0}
(
1
,
5
)
x
>
15678
⇔
x
>
ln
15678
ln
1
,
5
≈
23
,
8
{\displaystyle (1{,}5)^{x}>15678\Leftrightarrow x>{\frac {\ln 15678}{\ln 1{,}5}}\approx 23,8}
]
ln
15678
ln
1
,
5
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]{\frac {\ln 15678}{\ln 1{,}5}},+\infty \right[}
(
0
,
7
)
x
>
0,000
006
⇔
ln
(
(
0
,
7
)
x
)
>
ln
0,000
006
⇔
x
ln
0
,
7
>
ln
0,000
006
{\displaystyle (0{,}7)^{x}>0{,}000006\Leftrightarrow \ln \left((0{,}7)^{x}\right)>\ln 0{,}000006\Leftrightarrow x~\ln 0{,}7>\ln 0{,}000006}
ln
0
,
7
<
0
{\displaystyle \ln 0{,}7<0}
(
0
,
7
)
x
>
0,000
006
⇔
x
<
ln
0,000
006
ln
0
,
7
≈
33
,
7
{\displaystyle (0{,}7)^{x}>0{,}000006\Leftrightarrow x<{\frac {\ln 0{,}000006}{\ln 0{,}7}}\approx 33{,}7}
]
−
∞
,
ln
0,000
006
ln
0
,
7
[
{\displaystyle \left]-\infty ,{\frac {\ln 0{,}000006}{\ln 0{,}7}}\right[}
5
x
<
2,105
647
⇔
ln
(
5
x
)
<
ln
2,105
647
⇔
x
ln
5
<
ln
2,105
647
{\displaystyle 5^{x}<2{,}105647\Leftrightarrow \ln \left(5^{x}\right)<\ln 2{,}105647\Leftrightarrow x~\ln 5<\ln 2{,}105647}
ln
5
>
0
{\displaystyle \ln 5>0}
5
x
<
2,105
647
⇔
x
<
ln
2,105
647
ln
5
≈
0
,
46
{\displaystyle 5^{x}<2{,}105647\Leftrightarrow x<{\frac {\ln 2{,}105647}{\ln 5}}\approx 0{,}46}
]
−
∞
,
ln
2,105
647
ln
5
[
{\displaystyle \left]-\infty ,{\frac {\ln 2{,}105647}{\ln 5}}\right[}
(
3
5
)
x
<
0,000
003
⇔
ln
(
(
0
,
6
)
x
)
<
ln
0,000
003
⇔
x
ln
0
,
6
<
ln
0,000
003
{\displaystyle \left({\frac {3}{5}}\right)^{x}<0{,}000003\Leftrightarrow \ln \left(\left(0{,}6\right)^{x}\right)<\ln 0{,}000003\Leftrightarrow x~\ln 0{,}6<\ln 0{,}000003}
ln
0
,
6
<
0
{\displaystyle \ln 0{,}6<0}
(
3
5
)
x
<
0,000
003
⇔
x
>
ln
0,000
003
ln
0
,
6
≈
24
,
9
{\displaystyle \left({\frac {3}{5}}\right)^{x}<0{,}000003\Leftrightarrow x>{\frac {\ln 0{,}000003}{\ln 0{,}6}}\approx 24{,}9}
]
ln
0,000
003
ln
0
,
6
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]{\frac {\ln 0{,}000003}{\ln 0{,}6}},+\infty \right[}
Un capital de 2 000 € est placé à intérêts composés à un taux annuel de 10 %.
Combien d'années faudra-t-il pour que la somme placée dépasse 13 454 € ?
Solution
2
000
⋅
1
,
1
n
≥
13
454
⇔
1
,
1
n
≥
13
454
2
000
⇔
1
,
1
n
≥
6,727
⇔
n
≥
ln
6,727
ln
1
,
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2\,000\cdot 1{,}1^{n}\geq 13\,454&\Leftrightarrow 1{,}1^{n}\geq {\frac {13\,454}{2\,000}}\\&\Leftrightarrow 1{,}1^{n}\geq 6{,}727\\&\Leftrightarrow n\geq {\frac {\ln 6{,}727}{\ln 1{,}1}}.\end{aligned}}}
ln
6,727
ln
1
,
1
≈
19,999
{\displaystyle {\frac {\ln 6{,}727}{\ln 1{,}1}}\approx 19{,}999}
€ au bout de 20 ans.
Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de 35 000 € à 12 % l’an, le second de 40 000 € à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second.
Solution
Au terme de l'année i , les placements vaudront :
C
1
(
i
)
=
35
000
⋅
1
,
12
i
{\displaystyle C_{1}(i)=35\,000\cdot 1{,}12^{i}}
C
2
(
i
)
=
40
000
⋅
1
,
09
i
{\displaystyle C_{2}(i)=40\,000\cdot 1{,}09^{i}}
On cherche à déterminer à partir de quelle valeur de i on aura
C
1
(
i
)
≥
C
2
(
i
)
{\displaystyle C_{1}(i)\geq C_{2}(i)}
Soit
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
C
1
(
i
)
≥
C
2
(
i
)
⇔
35
000
⋅
1
,
12
i
≥
40
000
⋅
1
,
09
i
⇔
(
1
,
12
1
,
09
)
i
≥
40
000
35
000
⇔
(
112
109
)
i
≥
8
7
⇔
ln
(
(
112
109
)
i
)
≥
ln
8
7
⇔
i
ln
112
109
≥
ln
8
7
⇔
i
≥
ln
8
7
ln
112
109
.
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}(i)\geq C_{2}(i)&\Leftrightarrow 35\,000\cdot 1{,}12^{i}\geq 40\,000\cdot 1{,}09^{i}\\&\Leftrightarrow \left({\frac {1,12}{1,09}}\right)^{i}\geq {\frac {40\,000}{35\,000}}\\&\Leftrightarrow \left({\frac {112}{109}}\right)^{i}\geq {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow \ln \left(\left({\frac {112}{109}}\right)^{i}\right)\geq \ln {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow i\ln {\frac {112}{109}}\geq \ln {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow i\geq {\frac {\ln {\frac {8}{7}}}{\ln {\frac {112}{109}}}}.\end{aligned}}}
On a
ln
8
7
ln
112
109
≈
4
,
92
{\displaystyle {\frac {\ln {\frac {8}{7}}}{\ln {\frac {112}{109}}}}\approx 4{,}92}
Le premier placement dépassera donc le second au bout de 5 ans.
Combien de chiffres le nombre
2
500
{\displaystyle 2^{500}}
Solution
Soit
n
{\displaystyle n}
10
n
−
1
≤
2
500
<
10
n
⇔
n
−
1
≤
500
ln
2
ln
10
<
n
⇔
n
=
1
+
⌊
500
ln
2
ln
10
⌋
=
151
{\displaystyle 10^{n-1}\leq 2^{500}<10^{n}\Leftrightarrow n-1\leq {\frac {500\ln 2}{\ln 10}}<n\Leftrightarrow n=1+\left\lfloor {\frac {500\ln 2}{\ln 10}}\right\rfloor =151}
![{\displaystyle \left]{\frac {\ln 15678}{\ln 1{,}5}},+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46470c40f71c45976aa6ad90be703b101e8d9af4)
![{\displaystyle \left]-\infty ,{\frac {\ln 0{,}000006}{\ln 0{,}7}}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45518c94746617d91bb97e10d8cd52d64cace51d)
![{\displaystyle \left]-\infty ,{\frac {\ln 2{,}105647}{\ln 5}}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d9ed4f612896c72308fc023338d6b4353e45ef)
![{\displaystyle \left]{\frac {\ln 0{,}000003}{\ln 0{,}6}},+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc575821d4d517c37966308a28e720bd76f18f2)
