Fonction exponentielle/Exercices/Étude d'une fonction comportant des exponentielles

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac S (2001).

On appelle $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par :

$f:x\mapsto {\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}$.

On désigne par ${\mathcal {C}}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. Question 1
   1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   2. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb {R}$.
2. Question 2
   1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 0.
   2. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $\mathbb {R}$ par $d:x\mapsto f(x)-x$, préciser la position de ${\mathcal {C}}$ par rapport à T.
   3. Tracer ${\mathcal {C}}$ et T.

Solution

1.1 Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

$\lim _{x\to +\infty }\operatorname {e} ^{x}=+\infty$

$\lim _{x\to +\infty }\operatorname {e} ^{-x}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}=+\infty$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {e} ^{x}=0$

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {e} ^{-x}=+\infty$

Donc $\lim _{x\to -\infty }\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}=-\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$

1.2 Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire le sens de variation de ƒ sur $\mathbb {R}$.

$f$ est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb {R}$

$f'(x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {e} ^{x}-(-1)\times \operatorname {e} ^{-x}\right)={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}$.

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)>0$

$f$ est strictement croissante.

2.1 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 0.

L'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 0 est la droite d'équation $y=f(0)+f'(0)(x-0)$

La tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 0 est la droite $y=x$.

2.2 En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $\mathbb {R}$ par $d:x\mapsto f(x)-x$, préciser la position de ${\mathcal {C}}$ par rapport à T.

d est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}d'(x)&=f'(x)-1\\&={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}-1\\&={\frac {\operatorname {e} ^{x}-2+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}\\&={\frac {(\operatorname {e} ^{x/2})^{2}-2\operatorname {e} ^{x/2}\operatorname {e} ^{-x/2}+(\operatorname {e} ^{-x/2})^{2}}{2}}\\&={\frac {(\operatorname {e} ^{x/2}-\operatorname {e} ^{-x/2})^{2}}{2}}\\\end{aligned}}$

Un carré étant toujours positif, on obtient que d est croissante. Ce qui nous intéresse pour déterminer les positions relatives de T et ${\mathcal {C}}$ est le signe de d. On utilise les variations de d pour trouver son signe :

On remarque que d(0) = 0. Le tableau de variations est donc du type suivant :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline &&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~d&&&0&&\\&&\nearrow &&&\\\hline \end{array}}$

On en déduit que :

• d est négative sur $\mathbb {R} ^{-}$
• d est positive sur $\mathbb {R} ^{+}$

Finalement, Sur $\mathbb {R} ^{-}$, T est au-dessus de ${\mathcal {C}}$ Sur $\mathbb {R} ^{+}$, T est en-dessous de ${\mathcal {C}}$

2.3 Tracer ${\mathcal {C}}$ et T.

 

Une petite page de culture

La fonction $f$ est une fonction classique en mathématiques qui s’appelle la fonction « sinus hyperbolique », notée $\sinh$.

$\sinh :x\mapsto {\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}$.

Sa dérivée est la fonction « cosinus hyperbolique », notée $\cosh$.

$\cosh :x\mapsto {\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}$.

Ces fonctions sont respectivement les parties impaire et paire de l'exponentielle :

• pour tout $x\in \mathbb {R} \quad \sinh(-x)=-\sinh x$ ;
• pour tout $x\in \mathbb {R} \quad \cosh(-x)=\cosh x$ ;
• pour tout $x\in \mathbb {R} \quad \cosh x+\sinh x=\operatorname {e} ^{x}$.

De plus, elles disposent de propriétés algébriques très ressemblantes aux fonctions de trigonométrie classique. Par exemple $\cosh ^{2}-\sinh ^{2}=1$.

Pour aller plus loin, consulter le cours sur la trigonométrie hyperbolique.