Fonction exponentielle/Exercices/Désintégration des corps radioactifs

La « vitesse de désintégration » d'un corps radioactif, c'est-à-dire le nombre de noyaux qui se désintègrent pendant une seconde,

est proportionnelle au nombre de noyaux $N(t)$ présent à l'instant t.

On peut donc écrire :

${\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t)$

où $\lambda$ est une constante strictement positive, caractéristique du noyau étudié.

La loi de désintégration

On note $N_{0}$ le nombre de noyaux d'un échantillon du corps radioactif à l'instant $t=0$.

Montrer que pour tout réel t, $N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$.

C'est la loi de désintégration radioactive.

Solution

On retrouve une équation différentielle de la forme y'=ay la solution N(t) de l'équation est donc de la forme $N(t)=ke^{at}$ donc $N(t)=ke^{-\lambda t},k\in R$
(On peut aussi rappeler la définition du chapitre 1 : cas général)

${\begin{matrix}Or\,N_{0}&=&N(0)\\\ &=&ke^{0}\\\ &=&k\end{matrix}}$

Donc $N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$.

 

Étude de la fonction N

1. Étudier le sens de variation de la fonction N sur $[0;+\infty [$.

2. Étudier la limite de la fonction N en $+\infty$.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction N.

Solution

1. Étudions la derivée de N(t) : $N'(t)=-N_{0}\lambda e^{-\lambda t}$. N₀ et $e^{-\lambda t}$ sont positif et $-\lambda$ est négatif donc $N'(t)\leq 0\,\forall x\,$
N(t) est donc decroissante sur $]0;+\infty [$
2.

 

Exemples

1. Avec t en milliers d'années la constante caractéristique du carbone 14 est $\lambda =0,121$.

Tracer sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction $f(t)=e^{-0,121t}$ sur $[0;20[$.

2. Utiliser la fonction trace pour déterminer la période de demi-vie,

c'est-à-dire le temps au bout duquel il ne reste que la moitié du carbone.

3. Pour l'uranium-238, $\lambda =0,154.10^{-6}s^{-1}$ et pour l'iode-131, $\lambda =31625s^{-1}$.

Déterminer leur période de demi-vie à l'aide de la calculatrice.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}