Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles

Équations différentielles
Image logo représentative de la faculté
Exercices no7
Leçon : Fonction exponentielle

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Étude d'une fonction comportant des exponentielles
Exo suiv. :Croissances comparées
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Équations différentielles
Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 7-1Modifier

Soient  . Déterminer l'unique fonction   dérivable sur   vérifiant :

  et  .

Exercice 7-2Modifier

Un médicament administré par voie orale est éliminé par la fonction rénale. On suppose que la durée d'absorption par voie orale est négligeable (à  , la quantité   de produit est présente dans le tube digestif). La vitesse de passage du médicament du système digestif à la circulation sanguine est proportionnelle à la quantité de médicament restant dans le tube digestif (de constante d'absorption  ). La vitesse d'élimination du médicament par les reins est proportionnelle à la quantité présente dans le sang (de constante d'élimination  ). On note   (respectivement  ) la quantité de médicament présente dans le tube digestif (resp. dans le sang) à l'instant  .

  1. Calculer la quantité de médicament dans le tube digestif en fonction du temps.
  2. Expliquer la relation suivante :  . En déduire l'expression de  .
  3. Au bout de combien de temps la quantité de médicament dans le sang sera-t-elle maximale ?

Exercice 7-3Modifier

L'effectif   (exprimé en milliers) d'une population de microbes s'accroît, pendant l'intervalle de temps  , de la moitié du produit  .

  1. Établir l'équation différentielle satisfaite par  .
  2. On pose  . Donner l'équation différentielle satisfaite par  .
  3. Donner l'expression de   et en déduire  .
  4. Sachant que  , étudier l'évolution de la population au cours du temps. En particulier, quel est l'effectif limite quand   tend vers l'infini ?

Exercice 7-4Modifier

Un bateau-citerne a coulé au large de la Bretagne. On souhaite alors retirer le pétrole restant dans une de ses cuves. Pour ce faire, on introduit dans la cuve une quantité   de bactéries qui ont la propriété d'éliminer le pétrole. Ces bactéries se reproduisent et l'on note   la quantité de bactéries présentes dans la cuve au temps  . On suppose que l'évolution de la quantité de bactéries suit la propriété suivante : pendant un petit intervalle de temps  , la variation de quantité   est proportionnelle (avec un coefficient constant  ) à   et la quantité de bactéries présentes dans la cuve.

  1. Expliquer pourquoi   satisfait l'équation différentielle  .
    Donner alors l'expression de   et tracer approximativement le graphe de  .
  2. Pour tout  , on note   le temps nécessaire pour que la quantité au temps   soit le double de la quantité au temps   (temps de doublement de vies). Montrer que   ne dépend pas de   et en donner une expression en fonction de  .
  3. On suppose que le temps   est exprimé en heures. On a observé qu'au bout de 3 heures, la quantité de bactéries avait doublé par rapport à la quantité de départ  . Calculer alors  .
  4. On suppose que  . Avec la valeur de   donnée à la question précédente, calculer le temps   au bout duquel on aura   bactéries dans la cuve.
    On note   la quantité de pétrole présent dans la cuve. On suppose qu'à  , on avait une quantité  . On suppose que l'élimination du pétrole par les bactéries se fait de la façon suivante : la vitesse d'élimination de la quantité de pétrole éliminé est proportionnelle (avec un coefficient constant  ) à la quantité de bactéries présentes dans la cuve.
  5. En utilisant cette hypothèse, donner l'expression de  . En déduire alors que
     .
  6. Tracer approximativement le graphe de   et déterminer, en fonction de  ,  ,   et  , le temps   à partir duquel toute la quantité de pétrole aura disparu.

Exercice 7-5Modifier

On étudie la réaction chimique suivante :  . La vitesse de réaction est proportionnelle aux concentrations de   et   :  . On suppose qu'au départ il n'y a pas de produit  . Exprimer en fonction du temps les concentrations  ,   et   (on pourra chercher   et   réels tels que  ).