Fonction exponentielle/Exponentielle de base a

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Définition

Définition

Pour tout réel $a$ strictement positif, on appelle fonction exponentielle de base $a$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par l'expression suivante : $\exp _{a}:x\mapsto a^{x}=\exp(x\ln a)$.

Remarques

• La fonction $\ln :\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R}$ est implicitement définie ici comme la bijection réciproque de la fonction $\exp$ , elle-même définie par une équation différentielle et bijective de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R} _{+}^{*}$. En particulier, par définition du nombre e, $\ln(\mathrm {e} )=1$ donc $\exp _{\mathrm {e} }=\exp$.
• Généralisant la notation $\mathrm {e} ^{x}$ pour $\exp(x)$, la notation $a^{x}$ pour $\exp _{a}(x)$ étend de même aux exposants réels celle des puissances d'exposant rationnel, de façon compatible d'après les propriétés algébriques de l'exponentielle : le nombre $a$ élevé à une puissance rationnelle $r$ est bien égal à $\exp _{a}(r)$.

Début de l'exemple

Exemple

En chimie, le pH est relié à la concentration en ions oxonium H₃O⁺ par la relation $[H_{3}O^{+}]=10^{-pH}$.

On a affaire à une exponentielle de base 10.

Fin de l'exemple

Propriétés algébriques

Début d’un théorème

Théorème

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs et pour tous réels $x$ et $y$ :

1. $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$
2. $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$
3. $a^{x-y}={a^{x} \over a^{y}}$
4. $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
5. $a^{0}=1$
6. $\exp _{a}(\log _{a}(y))=a^{\log _{a}(y)}=y$ si $y>0$

Fin du théorème

Démonstration

1. Se déduit du cas particulier $a=\mathrm {e}$.

2. et 4. également, par définition de $\ln$.

 

Remarque : toute fonction $f\neq 0$ et continue en au moins un point, vérifiant $f(x+y)=f(x)f(y)\quad \forall x,y\in \mathbb {R}$, est une fonction de la forme $x\mapsto a^{x}$. Cette fonction est indéfiniment dérivable: voir cet exercice.

Variations

Début d’un théorème

Théorème

La fonction $\exp _{a}:x\mapsto a^{x}$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et pour tout $x\in \mathbb {R}$, $\exp _{a}'(x)=a^{x}\ln(a)$.

Fin du théorème

On en déduit les variations et les limites suivantes :

• Si $a>1$

${\begin{array}{c|ccc|}\hline x&-\infty &&+\infty \\\hline &&&+\infty \\{\text{Variations de }}\exp _{a}&&\nearrow &\\&0&&\\\hline \end{array}}$

• Si $0<a<1$

${\begin{array}{c|ccc|}\hline x&-\infty &&+\infty \\\hline &+\infty &&\\{\text{Variations de }}\exp _{a}&&\searrow &\\&&&0\\\hline \end{array}}$