Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle
Lorsqu'on définit la fonction exponentielle à partir de la fonction logarithme népérien, on en déduit immédiatement les propriétés algébriques ci-dessous. Lorsqu'on définit comme solution d'une équation différentielle, on parvient à les démontrer directement.
Propriété fondamentale
modifierPosons, pour fixé, (on sait que ). Alors, et pour tout x : . D'après ce théorème, pour tout .
On a bien montré que pour tous x et y, .
Les fonctions continues vérifiant cette même équation fonctionnelle seront étudiées au chapitre 8. On verra qu'elles coïncident avec les solutions de l'équation différentielle générale rencontrées au chapitre 1.
Conséquences
modifierLes formules suivantes se déduisent de la propriété algébrique fondamentale.
- Soient . On sait que .
On en déduit :
- Soit :
- On note, pour tout , la propriété : « »
- Initialisation : Pour n = 0, donc est vraie
- Soit tel que soit vraie
- Donc est vraie.
- Le principe de récurrence permet de conclure que pour tout
- On en déduit, en utilisant à nouveau l'égalité , que pour (entier négatif), on a encore .
Notation
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Une autre définition de ce nombre est donnée dans la leçon sur la fonction logarithme. Compte tenu du lien entre cette fonction et la fonction exponentielle, ces deux définitions sont équivalentes.
Cette notation étend donc aux exposants réels celle des puissances entières, de façon compatible d'après la propriété algébrique ci-dessus : le nombre élevé à une puissance entière est bien égal à . Cette propriété s'étend même au cas où est un rationnel, voire, un réel.
Application
modifier- Soit x tel que ex = 3,56. Calculer e2x+3 sans calculer x.
- Donc .
- Déterminer une valeur approchée de sans utiliser la touche « ex » de la calculatrice.
est positif (c'est le carré de ) et son carré est égal à , donc .