Suites et séries de fonctions/Exercices/Suites de fonctions

Suites de fonctions
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Exercices no1
Leçon : Suites et séries de fonctions
Chapitre du cours : Suites de fonctions

Exercices de niveau 15.

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Exo suiv. :Séries de fonctions
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Suites et séries de fonctions/Exercices/Suites de fonctions
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Exercice 1-1

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Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de   définie sur   par :

  si   et  .

Exercice 1-2

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Construction de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler (version rectifiée et rédigée de celle du 15/01/2010 dans la leçon « Fonction exponentielle »).

Pour tout   et tout  , on pose

 .
  1. Démontrer que si   et  , alors  .
  2. En déduire que la suite   est simplement convergente.
  3. Notons   sa limite. Vérifier que  .
  4. Montrer que si  , alors
     
  5. En déduire que   est dérivable et égale à sa dérivée.

Exercice 1-3

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Soit   une fonction vérifiant les hypothèses suivantes :

  •   ;
  •   ;
  • l'intégrale impropre   converge vers une valeur non nulle.
  1. Montrer qu'il existe de telles fonctions.
  2. Montrer que la suite   définie sur   par   est simplement convergente.
  3. Cette convergence est-elle uniforme au voisinage de   ?