Suites et séries de fonctions/Exercices/Suites de fonctions
Exercice 1-1
modifierÉtudier la convergence simple et la convergence uniforme de définie sur par :
- si et .
Solution
Il est clair que la suite converge simplement vers la fonction nulle. Montrons que la convergence est uniforme sur : on a et cela pour tout .
Exercice 1-2
modifierConstruction de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler (version rectifiée et rédigée de celle du 15/01/2010 dans la leçon « Fonction exponentielle »).
Pour tout et tout , on pose
.
- Démontrer que si et , alors .
- En déduire que la suite est simplement convergente.
- Notons sa limite. Vérifier que .
- Montrer que si , alors
- En déduire que est dérivable et égale à sa dérivée.
Solution
- En fixant et en dérivant la fonction , on trouve qu'elle atteint son minimum pour , or sa valeur en ce point est .
- Soit un entier . D'après la question précédente (appliquée à ), les suites et sont croissantes, or elles sont strictement positives et leur produit est majoré par . Cela prouve que la suite est croissante et majorée (par ), donc convergente.
- .
- La première inégalité se déduit de la question 1, et la seconde se déduit de la première en remplaçant par et par .
- Immédiat.
Exercice 1-3
modifierSoit une fonction vérifiant les hypothèses suivantes :
- ;
- ;
- l'intégrale impropre converge vers une valeur non nulle.
- Montrer qu'il existe de telles fonctions.
- Montrer que la suite définie sur par est simplement convergente.
- Cette convergence est-elle uniforme au voisinage de ?
Solution
- Soit . La fonction convient, mais on peut trouver des exemples plus simples, comme la fonction indicatrice de l'intervalle .
- et pour tout , . Donc converge simplement vers .
- Non, jamais (quel que soit l'exemple choisi), car pour tout , .