Fonction exponentielle/L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien

Ce chapitre présente une définition alternative de la fonction exponentielle, à partir du logarithme népérien, lui-même défini comme la primitive de la fonction $x\mapsto 1/x$, qui s'annule au point $1$. Nous admettrons que ces deux définitions sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

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Exponentielle et logarithme népérien

Définition

Rappel : Tableau de variations de la fonction logarithme népérien ($\ln$)

${\begin{array}{c|ccc|}y&0&&+\infty \\\hline &&&+\infty \\{\text{Variations de }}\ln(y)&&\nearrow &\\&-\infty &&\end{array}}$

Définition

L'exponentielle d'un réel $x$, notée $\exp(x)$, est l’unique réel $y>0$ tel que $\ln(y)=x$.

Autrement dit, $\exp(x)$ est défini par : $\ln \left(\exp(x)\right)=x$

Propriétés élémentaires

Propriété

• Pour tout réel $y>0$ : $\exp(\ln y)=y$
• $\exp(0)=1$.
• Pour tous réels $a$, $b$ et $r$ :
  • $\exp(a+b)=\exp(a).\exp(b)$
  • $\exp(a-b)={\frac {\exp(a)}{\exp(b)}}$
  • $\exp(ra)=(\exp a)^{r}$

Démonstration

• Soit $x=\ln(y)$. Alors, $y=\exp(x)=\exp(\ln(y))$.
• En particulier, $\exp(0)=\exp(\ln(1))=1$.
• Les autres propriétés résultent des propriétés algébriques du logarithme. Par exemple pour la première : en posant $c=\exp(a)$ et $d=\exp(b)$, on trouve $\ln(cd)=\ln(c)+\ln(d)=a+b$ donc $\exp(a+b)=cd$.

 

Application

L'exponentielle permet de résoudre des équations quand l'inconnue est dans un logarithme.

• Résoudre de manière approchée l’équation $\ln(x)=5,2$

Solution

$x=\exp(5,2)\approx 181,27$

 

• Résoudre de manière approchée l’équation $\exp(x)=5,2$

Solution

$x=\ln(5,2)\approx 1,649$

 

• Déterminer une valeur approchée de $\exp \left({\frac {1}{2}}\right)$ sans utiliser la touche «e^x» de la calculatrice.

Solution

On sait que $\ln \left(\exp \left({\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}$

On tâtonne donc pour trouver un nombre dont le logarithme népérien vaut ${\frac {1}{2}}$. Avec un peu de patience, on finit par trouver que $1,64\leq e^{\frac {1}{2}}\leq 1,65$.