Fonctions circulaires/Formules de duplication

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Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux formules qui relient les sinus et cosinus d'un angle avec ceux de son double ou de sa moitié.

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Certaines formules possèdent une interprétation géométrique intéressante.

Formules

$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x$

$\sin(2x)=2\cos x\sin x$

La formule de duplication du sinus

On démontre ici par une méthode élémentaire la formule de duplication du sinus.

Le losange de côté 1

On se place dans un losange de côté 1.

On nomme $\alpha$ un des angles qui varie entre 0 et ${\frac {\pi }{2}}$.

On a alors dans le triangle $ACE$ rectangle en $E$ :

$AE=FD=\cos \alpha$

$CE=BF=\sin \alpha$

$BE=CF=1-\cos \alpha$

donc l'aire du losange est :

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{losange}&={\mathcal {A}}_{ACE}+{\mathcal {A}}_{EBFC}+{\mathcal {A}}_{BFD}\\&={\frac {\cos \alpha \sin \alpha }{2}}+\sin \alpha (1-\cos \alpha )+{\frac {\cos \alpha \sin \alpha }{2}}\\&=\sin \alpha .\end{aligned}}$

Remarquons enfin que si l'on considère l'angle adjacent à $\alpha$, le résultat est encore valable puisque les deux angles on le même sinus.

Donc notre résultat est valable pour un angle $\alpha$ variant entre $0$ et $\pi$.

Le triangle isocèle de côté 1

On se place dans un triangle de côté 1.

On nomme $\alpha$ un des angles qui varie entre 0 et $\pi$.

On a alors dans le triangle $ADB$ rectangle en $D$ :

$AD=\cos {\frac {\alpha }{2}}$

$BD=\sin {\frac {\alpha }{2}}$

donc l'aire du triangle $ABC$ est :

${\mathcal {A}}_{ABC}=\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}$.

La formule

En combinant les deux résultats précédents, on obtient :

$\sin \alpha ={\mathcal {A}}_{losange}=2{\mathcal {A}}_{ABC}=2\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}$.

Preuve sans mots de la formule d'addition pour les sinus.

La figure ci-contre constitue une preuve tout aussi élémentaire de la formule plus générale

$\sin(\alpha +\beta )=\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta$.

La formule de duplication du cosinus

Voir Hasan Unal, « Proof Without Words: Double Sum for Sine and Cosine »