Fonctions circulaires/Formules de duplication

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Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux formules qui relient les sinus et cosinus d'un angle avec ceux de son double ou de sa moitié.

Formules de duplication
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Chapitre no 6
Leçon : Fonctions circulaires
Chap. préc. :Amplitude et Pulsation
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Problème d'optimisation
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions circulaires : Formules de duplication
Fonctions circulaires/Formules de duplication
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Certaines formules possèdent une interprétation géométrique intéressante.

Formules modifier

 
 

La formule de duplication du sinus modifier

On démontre ici par une méthode élémentaire la formule de duplication du sinus.

Le losange de côté 1 modifier

On se place dans un losange de côté 1.

On nomme   un des angles qui varie entre 0 et  .

 

On a alors dans le triangle   rectangle en   :

 
 
 

donc l'aire du losange est :

 

Remarquons enfin que si l'on considère l'angle adjacent à  , le résultat est encore valable puisque les deux angles on le même sinus.

Donc notre résultat est valable pour un angle   variant entre   et  .

Le triangle isocèle de côté 1 modifier

On se place dans un triangle de côté 1.

On nomme   un des angles qui varie entre 0 et  .

 

On a alors dans le triangle   rectangle en   :

 
 

donc l'aire du triangle   est :

 .

La formule modifier

En combinant les deux résultats précédents, on obtient :

 .
 
Preuve sans mots de la formule d'addition pour les sinus.

La figure ci-contre constitue une preuve tout aussi élémentaire de la formule plus générale

 .

La formule de duplication du cosinus modifier

Voir Hasan Unal, « Proof Without Words: Double Sum for Sine and Cosine »