Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arcsin

Exercice 4-1

Étudier $\arcsin(\sin x)$, $x\in \mathbb {R}$, en déduire $\arcsin(\sin(2x))$.

Solution

Soit $w=\arcsin(\sin x)$ : $w\in [-\pi /2,\pi /2]$ et $\sin w=\sin x$ donc $w=x-2k\pi$ ou $\pi -x+2k\pi$ avec $k\in \mathbb {Z}$ : $w=x-2k\pi \Leftrightarrow x-2k\pi \in [-\pi /2,\pi /2]\Leftrightarrow x\in [-\pi /2+2k\pi ,\pi /2+2k\pi ]$, $w=\pi -x+2k\pi \Leftrightarrow x-\pi -2k\pi \in [-\pi /2,\pi /2]\Leftrightarrow x\in [\pi /2+2k\pi ,3\pi /2+2k\pi ]$.

Vérification des recollements aux bornes : si $x=\pi /2+2k\pi$, $x-2k\pi =\pi /2=\pi -x+2k\pi$, et si $x=3\pi /2+2k\pi =-\pi /2+2(k+1)\pi$, $\pi -x+2k\pi =-\pi /2=x-2(k+1)\pi$.

Conséquence pour $w'=\arcsin(\sin 2x)$ : $w'=2x-2k\pi \Leftrightarrow x\in [-\pi /4+k\pi ,\pi /4+k\pi ]$, $w'=\pi -2x+2k\pi \Leftrightarrow x\in [\pi /4+k\pi ,3\pi /4+k\pi ]$.

 

Exercice 4-2

Montrer, directement puis à l'aide des dérivées :

$\arcsin {\sqrt {x}}={\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\arcsin(2x-1)$ ($x\in [0,1]$).

Solution

Soient $u=\arcsin {\sqrt {x}}$ et $v=\arcsin(2x-1)$ : $u\in [0,\pi /2]$ et $\sin ^{2}u=x$, $v\in [-\pi /2,\pi /2]$ et $\sin v=2x-1$, et l'on veut montrer que $v=2u-{\pi \over 2}$.

$\sin v=2\sin ^{2}u-1=-\cos(2u)=\sin \left(2u-{\frac {\pi }{2}}\right)$, et $2u-{\frac {\pi }{2}}$ appartient, comme $v$, à $[-\pi /2,\pi /2]$.

Par la seconde méthode :

• $\left(\arcsin {\sqrt {x}}\right)'={1 \over {\sqrt {1-x}}}{1 \over 2{\sqrt {x}}}$ et $\arcsin {\sqrt {0}}=0$ ;
• $\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\arcsin(2x-1)\right)'={\frac {1}{2}}{2 \over {\sqrt {1-(2x-1)^{2}}}}={1 \over 4x-4x^{2}}={1 \over 2{\sqrt {x(1-x)}}}$ et ${\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\arcsin(2\times 0-1)=0$.