Fonctions convexes/Épigraphe d'une fonction convexe
L’épigraphe d’une fonction est l’ensemble des points situés au-dessus de la courbe représentative de la fonction f.
En géométrie une figure sera dite convexe si, pour tout couple de points (A,B) à l’intérieur de la figure, le segment [AB] est entièrement contenu dans la figure.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe.
Supposons f convexe.
Soient A et B deux points appartenant à l’épigraphe de f. Raisonnons par contraposée et supposons qu’il existe un point C du segment ]AB[ n’appartenant pas à l’épigraphe de f. A étant à l’intérieur de l’épigraphe et C à l’extérieur, le segment [AC] couperait la courbe représentative de f en au moins un point E. De même, B étant à l’intérieur de l’épigraphe et C à l’extérieur, le segment [BC] couperait la courbe représentative de f en au moins un point F.
[EF] serait une corde reliant de point de la représentation graphique de f possédant au moins un point n’appartenant pas à l’épigraphe de f (à savoir le point C) et ce point serait en dessous de l’arc E⁀F. Ce qui d’après la propriété 1 est en contradiction avec le fait que f soit convexe.
Supposons que l’épigraphe de f est convexe. Soient (a,b) ∈ I2, A le point de la courbe ayant a pour abscisse, et B le point de la courbe ayant b pour abscisse. L’épigraphe de f étant convexe, le segment [AB] est entièrement inclus dans celui-ci, ce qui signifie que l’arc A⁀B est en dessous du segment [AB]. Et par conséquent f est convexe.
