Fonctions d'une variable complexe/Intégrales curvilignes

Début de la boite de navigation du chapitre
Intégrales curvilignes
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :Le logarithme complexe
Chap. suiv. :Formule intégrale de Cauchy
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions d'une variable complexe : Intégrales curvilignes
Fonctions d'une variable complexe/Intégrales curvilignes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Chemins dans le plan complexeModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On peut toujours se ramener à des chemins définis sur l'intervalle   via un changement de variable affine. Ainsi,   défini pour   se ramène à  , avec  .

On confondra souvent dans le langage informel un chemin et son image.

Chemins homotopesModifier

Soient   et   deux chemins tels que :

 

On introduit alors la notion suivante :


Cette définition signifie que deux chemins possédant les mêmes extrémités sont homotopes si l'un peut se déformer continûment sur l'autre. En particulier, l'image de   dans   ne contient pas de "trou topologique".



Connexité simpleModifier


Concrètement, lorsqu'un ensemble est "troué", on ne peut contracter les lacets qui font le tour d'un de ces trous, c’est le cas pour un anneau ou un disque épointé, par exemple. La simple connexité dans le plan est la propriété des ensembles qui n'ont pas de trou.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Intégrale curviligneModifier


Notation alternative pour l'intégrale curviligne et lien avec l'analyse vectorielleModifier

On a aussi    et   désignent respectivement les parties réelles et imaginaires de  . On peut alors définir  

  (intégration par rapport à la partie réelle et imaginaire) ce qui montre le lien entre l'intégrale curviligne dans   et l'intégrale curviligne de fonctions vectorielles. Puisque toute fonction   est équivalente à une fonction vectorielle  

Inégalité MLModifier

Début d'un lemme
Fin du lemme

Cette inégalité est très utile pour l'évaluation des intégrales curvilignes, en particulier pour montrer que certaines intégrales curvilignes sont nulles.


Théorème de Cauchy (invariance des intégrales curvilignes par homotopie)Modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Indice d'un lacetModifier

L'indice d'un lacet   par rapport à un point  , noté   est "le nombre de tours" que fait le lacet autour de ce point. Ce nombre est positif pour les tours dans le sens trigonométrique (direct, anti-horlogique) et négatif dans le sens inverse (indirect, horlogique).

 
Ce lacet a un indice égal à deux autour de p (Ind(C,p)=2).


Primitive des fonctions holomorphesModifier