Fonctions d'une variable réelle/Courbes asymptotes

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Courbe asymptote

Définition

Soient ƒ et g deux fonctions de courbes représentatives respectives ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {A}}$ dans un repère donné.

${\mathcal {A}}$ est une courbe asymptote à ${\mathcal {C}}$ en +∞ si :

1. $\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$
2. L'expression de g est beaucoup plus « simple » que celle de ƒ.

En pratique, on recherche des asymptotes polynomiales : droites et paraboles, parfois cubiques. Le but d'une asymptote est de pouvoir donner rapidement et le plus simplement possible une allure du graphe d'une fonction « compliquée ».

Trouver la courbe asymptote d'une fraction rationnelle en $+\infty$

Début d’un principe

Trouver la courbe asymptote d'une fraction rationnelle en +∞

Si la fonction dont on cherche une asymptote est une fraction rationnelle, alors la division euclidienne du numérateur par le dénominateur donnera l'équation de l'asymptote.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

Soit $f:x\mapsto {\frac {5x^{5}+15x^{3}+68x^{2}+29x-19}{5(x^{2}-2x+7)}}$

La division euclidienne du polynôme $5X^{5}+15X^{3}+68X^{2}+29X-19$ par le polynôme $5(X^{2}-2X+7)$ donne un quotient de $X^{3}+2X^{2}-{\frac {2}{5}}$ et un reste de $5(5X-1)$

On a donc pour tout $x,~f(x)={\frac {5\left(x^{3}+2x^{2}-{\frac {2}{5}}\right)(x^{2}-2x+7)+5(5x-1)}{5(x^{2}-2x+7)}}=x^{3}+2x^{2}-{\frac {2}{5}}+{\frac {5x-1}{x^{2}-2x+7}}$

Fin de l'exemple

Tenter de trouver une courbe asymptote à une courbe quelconque

Début d’un principe

Trouver une courbe asymptote

Pour essayer de trouver une courbe asymptote, on peut faire des développements limités en l'infini.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

On montre que la fonction $f:x\mapsto {\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right)}}$ admet pour asymptote la parabole d'équation $y=x^{2}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{3}}$

En effet, $f(x)=x^{2}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4x}}+{\underset {x\to +\infty }{o}}\left({\frac {1}{x}}\right)$

Fin de l'exemple