Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme
Dans tout ce chapitre, est une fonction définie sur un intervalle .
Les notions de fonction uniformément continue / höldérienne / lipschitzienne seront étendues aux espaces métriques à peu de frais, dans la leçon « Topologie générale » (niveau 16).
Définition
modifierVoici une notion de continuité plus fine que la continuité « simple ». Elle sert d'un point de vue théorique notamment à construire l'intégrale de Riemann ou à démontrer le théorème de Weierstrass sur l'approximation de fonctions.
La continuité « simple » de sur s'écrit par comparaison :
.
Le terme « uniforme » signifie que le choix de en fonction de , dans la définition de la continuité uniforme, ne dépend pas du point considéré ; il est uniforme sur .
Propriétés et exemples
modifierD'après la comparaison ci-dessus des deux définitions, on a immédiatement :
La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :
Un autre contre-exemple est la fonction .
On a cependant une réciproque partielle :
Démontrons la contraposée, en supposant non uniformément continue et en prouvant qu'elle est alors discontinue en au moins un point de .
Par hypothèse, il existe tel que
donc (en prenant ) pour tout entier , on peut alors choisir dans deux éléments et tels que
et .
La suite étant à valeurs dans , elle est bornée. Le théorème de Bolzano-Weierstrass assure qu'il existe une sous-suite qui converge. Soit sa limite (qui appartient à , par passage à la limite dans les inégalités). La relation montre que converge aussi vers .
Il s'ensuit que pour tout , il existe tels que
donc tels que
- ou ,
ce qui prouve que est discontinue au point .
Fonctions lipschitziennes et höldériennes
modifierest dite lipschitzienne sur si, pour une certaine constante :
On dit alors que est -lipschitzienne. S'il existe de tels alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de .
Une fonction dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.
Si est -lipschitzienne sur un intervalle alors, pour tous distincts, . Par passage à la limite quand , on en déduit que pour tout .
Réciproquement, si alors est -lipschitzienne : c'est l'inégalité des accroissements finis.
- Si est de classe C1 sur un intervalle fermé borné alors est lipschitzienne sur (en effet, , continue sur , est bornée d'après le théorème des bornes).
- Soit . Pour tout , la fonction n'est pas lipschitzienne sur ni même (ce qui par continuité est en fait équivalent) sur :
- Démonstration directe : , qui n’est pas bornée au voisinage de .
- Démonstration en utilisant la dérivée : n'est pas bornée.
- Soit . Pour tout , la fonction n'est pas lipschitzienne sur :
- Démonstration directe : , qui n'est pas bornée au voisinage de l'infini.
- Démonstration en utilisant la dérivée : n'est pas bornée.
On dit alors que est -höldérienne : si , on retrouve la notion de fonction lipschitzienne.
- La fonction puissance d'exposant , pour , est -höldérienne (cf. cet exercice corrigé du chapitre « Dérivabilité »).
- En particulier, la fonction est -höldérienne. En effet, on démontre facilement la majoration suivante :.
Il suffit de prendre dans la définition de la continuité uniforme.
La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :
La fonction définie sur par : et est continue donc (d'après le théorème de Heine) uniformément continue, mais elle n'est -höldérienne pour aucune valeur de .