Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme

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Dans tout ce chapitre, est une fonction définie sur un intervalle .

Continuité uniforme
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Chapitre no 8
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Convexité
Chap. suiv. :Courbes asymptotes
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Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme
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Les notions de fonction uniformément continue / höldérienne / lipschitzienne seront étendues aux espaces métriques à peu de frais, dans la leçon « Topologie générale » (niveau 16).

Définition

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Voici une notion de continuité plus fine que la continuité « simple ». Elle sert d'un point de vue théorique notamment à construire l'intégrale de Riemann ou à démontrer le théorème de Weierstrass sur l'approximation de fonctions.


La continuité « simple » de   sur   s'écrit par comparaison :  .

Le terme « uniforme » signifie que le choix de   en fonction de  , dans la définition de la continuité uniforme, ne dépend pas du point   considéré ; il est uniforme sur  .

Propriétés et exemples

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D'après la comparaison ci-dessus des deux définitions, on a immédiatement :


La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Un autre contre-exemple est la fonction  .

On a cependant une réciproque partielle :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Fonctions lipschitziennes et höldériennes

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On dit alors que   est  -lipschitzienne. S'il existe de tels   alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de  .


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On dit alors que   est  -höldérienne : si   , on retrouve la notion de fonction lipschitzienne.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple