Fonctions d'une variable réelle/Développements limités

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Dans tout ce chapitre, $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et continue en un point $a\in I$ et $n$ est un entier naturel.

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Définition

Définition

On dit que $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ au point $a$ s'il existe un polynôme $P$ tel que (avec la notation o de Landau) :

$f(x)-P(x)=o((x-a)^{n})$.

Dans ce cas, il existe un unique polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ vérifiant cette propriété ; on l'appelle la partie régulière du développement limité de $f$ à l'ordre $n$ en $a$.

Existence et unicité de la partie régulière

Remarquons d'abord que tout polynôme $Q\neq 0$ peut s'écrire $Q(X)=\sum _{k=p}^{q}a_{k}(X-a)^{k}$ avec $a_{p}\neq 0$ et qu'alors, $Q(x){\underset {a}{\sim }}{a_{p}(x-a)^{p}}$, donc $Q(x)=o((x-a)^{n})$ si et seulement si $p>n$, c'est-à-dire si $Q$ est divisible par $(X-a)^{n+1}$.

Par conséquent, s'il existe un polynôme $P_{0}$ tel que $f(x)-P_{0}(x)=o((x-a)^{n})$ alors, pour tout polynôme $P$ :

$f(x)-P(x)=o((x-a)^{n})\Leftrightarrow (P_{0}-P)(x)=o((x-a)^{n})\Leftrightarrow (X-a)^{n+1}\mid P_{0}-P$

et l'unique solution $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ est le reste de la division euclidienne de $P_{0}$ par $(X-a)^{n+1}$.

 

La fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0.

L'idée à retenir est qu'un développement limité est une approximation polynomiale au voisinage du point où il est effectué : l'image le montre bien.

Formules de Taylor

Nous exposons ici trois formules de Taylor :

Début d’un théorème

Formule de Taylor-Young

Si $f$ admet une dérivée $n$-ième au point $a$, alors elle admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$, donné par $f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)^{1}+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o((x-a)^{n})$ ou, sous forme plus compacte :

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+o((x-a)^{n})$.

Fin du théorème

Remarque

Pour démontrer ce théorème, on utilise celui d'intégration terme à terme (voir infra). Ces deux théorèmes se généralisent aux fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre : voir Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Développement limité.

Démonstration

La formule se démontre par récurrence.

Pour $n=0$, c'est la définition de la continuité de $f$ en $a$ et pour $n=1$, c'est la définition de $f'(a)$.

Soient $n\geq 1$ et $f$ dérivable $n+1$ fois en $a$, ce qui sous-entend que les dérivées précédentes, en particulier $f'$, sont définies au voisinage de $a$. Supposons vraie la formule à l'ordre $n$ et appliquons-la à $f'$ :

$f'(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k+1)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+o((x-a)^{n})$.

Le théorème d'intégration terme à terme donne alors :

$f(x)=f(a)+\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k+1)}(a)}{k!}}{\frac {(x-a)^{k+1}}{k+1}}+o((x-a)^{n+1})=\sum _{j=0}^{n+1}{\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}(x-a)^{j}+o((x-a)^{n+1})$,

ce qui prouve la formule à l'ordre $n+1$.

 

La formule de Taylor-Young est à usage local (du fait de la présence du $o((x-a)^{n})$).

Les autres formules de Taylor sont à usage global.

Elles permettent notamment de préciser la valeur du « reste » de la formule de Taylor-Young :

Début d’un théorème

Formule de Taylor avec reste intégral de Laplace

Si $f$ est de classe ${\mathcal {C}}^{n+1}$ sur $I$, alors pour tout $x\in I$ :

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,\mathrm {d} t.$

Fin du théorème

Démonstration

On procède par récurrence sur $n$ :

• Initialisation : Pour $n=0$, la formule à montrer devient $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t$, ce qui est évident d’après le théorème fondamental de l'analyse.
• Hérédité : On suppose que la formule est vraie au rang $n$. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal {C}}^{n+2}$. Alors elle est de classe ${\mathcal {C}}^{n+1}$ donc, par hypothèse de récurrence,
  $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+I_{n}$, avec $I_{n}=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,\mathrm {d} t$.
  Comme $f^{(n+1)}$ est de classe ${\mathcal {C}}^{1}$, une intégration par parties permet de transformer le reste :
  ${\begin{aligned}I_{n}&=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,\mathrm {d} t\\&=\left[-{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}{\frac {(x-t)^{n+1}}{n+1}}\right]_{a}^{x}-\int _{a}^{x}-{\frac {f^{(n+2)}(t)}{n!}}{\frac {(x-t)^{n+1}}{n+1}}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}+I_{n+1}.\end{aligned}}$
  Par conséquent,
  ${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}+I_{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+2)}(t)}{(n+1)!}}(x-t)^{n+1}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$
  et la formule est également vraie au rang $n+1$.

 

La formule de Taylor-Lagrange et son corollaire immédiat, l'inégalité de Taylor-Lagrange, sont des généralisations respectives du théorème des accroissements finis et de l'inégalité des accroissements finis (voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité).

Début d’un théorème

Formule de Taylor-Lagrange

Si $f$ est de classe ${\mathcal {C}}^{n}$ sur $[a,x]$ et $n+1$ fois dérivable sur $]a,x[$ (avec $x>a$), alors il existe $c\in \left]a,x\right[$ tel que :

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(c)$.

Fin du théorème

(Si $x<a$, on a un énoncé analogue en remplaçant $[a,x]$ par $[x,a]$ et $\left]a,x\right[$ par $\left]x,a\right[$.)

Démonstration

La formule de Taylor-Lagrange est une conséquence directe du théorème de Rolle.

On introduit la fonction continue $g$ définie par

$g(y)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {(x-y)^{k}}{k!}}f^{(k)}(y)-A(x-y)^{n+1}$

où $A$ est choisi de sorte que $g(a)=0$.

Comme la fonction $g$ est continue sur $[a,x]$, dérivable sur $]a,x[$ et vérifie $g(a)=g(x)=0$, le théorème de Rolle affirme qu’il existe $c\in \left]a,x\right[$ tel que $g'(c)=0$.

En simplifiant la somme télescopique

${\begin{aligned}g'(y)&=-f'(y)-\sum _{0<k\leq n}\left(-{\frac {(x-y)^{k-1}}{(k-1)!}}f^{(k)}(y)+{\frac {(x-y)^{k}}{k!}}f^{(k+1)}(y)\right)+A(n+1)(x-y)^{n}\\&=-{\frac {(x-y)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(y)+A(n+1)(x-y)^{n}\\&=(n+1)(x-y)^{n}\left(A-{\frac {f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}}\right),\end{aligned}}$

l'égalité $g'(c)=0$ devient

$A={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}$,

qui implique

$0=g(a)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {(x-a)^{k}}{k!}}f^{(k)}(a)-{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$.

C'est précisément la formule à montrer.

 

Corollaire : inégalité de Taylor-Lagrange

Si $f$ est $n+1$ fois dérivable sur $I$ et si $\forall t\in I\quad |f^{(n+1)}(t)|\leq M$, alors $\forall x\in I$ :

$\left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right|\leq M{\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}$.

Développements limités des fonctions usuelles en zéro

On a alors les développements limités des fonctions usuelles, directement (ou presque) avec la formule de Taylor-Young :

• le développement limité à l’ordre $n$ d'une fonction polynomiale est la troncature de cette fonction à l’ordre $n$ ;
• $\mathrm {e} ^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+o(x^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}+o(x^{n})$
• $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+o(x^{2n+1})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}+o(x^{2n+1})$
• $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}+o(x^{2n})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}+o(x^{2n})$
• $(1+x)^{a}=1+ax+{\frac {a(a-1)x^{2}}{2!}}+{\frac {a(a-1)(a-2)x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {a(a-1)\cdots (a-n+1)x^{n}}{n!}}+o(x^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {c_{k}x^{k}}{k!}}+o(x^{n})$
  avec $c_{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a-i)$ et $a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {N}$ (si $a\in \mathbb {N}$, c’est un polynôme…) ;
  • Cas particulier : $a=-1$ :
    ${\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+\cdots +(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})$
    et ${\frac {1}{1-x}}=(1-x)^{-1}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots +x^{n}+o(x^{n})$.

Remarque : On trouvera parfois dans d'autres sources des listes (beaucoup) plus longues de développements limités à connaître. Cependant, ceux présentés ci-dessus suffisent dans la pratique ; les exemples ci-dessous montrent comment obtenir d'autres développements limités à partir de ceux-ci.

Propriétés des développements limités

Somme et produit

Propriété

Soient $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $I$. Si leurs développements limités en un point $a\in I$ à l’ordre $n$ sont

$f(x)=P(x)+o((x-a)^{n})$ et $g(x)=Q(x)+o((x-a)^{n})$

alors :

1. le développement limité de la somme est donné par :

   $(f+g)(x)=(P+Q)(x)+o((x-a)^{n})$ ;

2. le développement limité du produit est donné par

   $(fg)(x)=R(x)+o((x-a)^{n})$,

   où $R(X)$ est le reste de la division euclidienne de $P(X)Q(X)$ par $(X-a)^{n+1}$.

Démonstration

Par définition, $f(x)=P(x)+(x-a)^{n}\alpha (x)$ et $g(x)=Q(x)+(x-a)^{n}\beta (x)$ avec $\lim _{a}\alpha =\lim _{a}\beta =0$ et $\deg P,\deg Q\leq n$.

• Pour la somme : on a bien $(f+g)(x)=(P+Q)(x)+(x-a)^{n}(\alpha +\beta )(x)$ avec $\lim _{a}{(\alpha +\beta )}=0$ et $\deg(P+Q)\leq n$.
• Pour le produit : $(fg)(x)=(P(x)+(x-a)^{n}\alpha (x))(Q(x)+(x-a)^{n}\beta (x))=(PQ)(x)+(x-a)^{n}\gamma (x)$ avec

$\gamma (x)=P(x)\beta (x)+\alpha (x)Q(x)+(x-a)^{n}\alpha (x)\beta (x)$ donc $\lim _{a}\gamma =P(a)\times 0+0\times Q(a)+0^{n}\times 0=0$.

La conclusion s'ensuit, par le procédé d'extraction de la partie régulière (voir supra).

 

Dérivation et intégration terme à terme

Début d’un théorème

Théorème

Si $f$ a un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ :

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(x-a)^{k}+o((x-a)^{n})$

alors :

1. toute primitive $F$ de $f$ a un développement limité à l'ordre $n+1$ en $a$, qui est la primitive terme à terme du développement limité de $f$ :

   $F(x)=F(a)+\sum _{k=0}^{n}c_{k}{\frac {(x-a)^{k+1}}{k+1}}+o((x-a)^{n+1})$ ;

2. par conséquent, si $f$ est dérivable alors le développement limité de $f'$ à l'ordre $n-1$ en $a$, s'il existe, est la dérivée terme à terme du développement limité de $f$ :

   $f'(x)=\sum _{k=1}^{n}kc_{k}(x-a)^{k-1}+o((x-a)^{n-1})$.

Fin du théorème

Remarque

Ce théorème d'« intégration » (plus exactement : de primitivation) terme à terme s'étend aux fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre : voir Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Développement limité.

Démonstration

Définissons sur $I$ la fonction $R$ (nulle en $a$) par :

$R(x)=f(x)-f(a)-\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}{\frac {(x-a)^{k+1}}{k+1}}.$

Par hypothèse,

$R'(x)=o((x-a)^{n-1})$.

D'après la règle de L'Hôpital, on a donc bien :

$R(x)=o((x-a)^{n})$.

 

Pourquoi ne peut-on pas dériver un développement limité terme à terme comme on peut le faire pour une primitive ?

Pour comprendre, on peut prendre l'exemple classique de $f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$, prolongée par $f(0)=0$. Cette fonction admet un développement limité d'ordre $1$ en $0$ mais $f'$ n'a pas de limite en $0$ donc pas de développement limité en $0$ (même à l'ordre $1-1=0$).

L'idée est qu'en dérivant, on « perd (au moins un peu) la régularité » de la fonction (si $f$ est de classe ${\mathcal {C}}^{k}$, alors $f'$ est de classe ${\mathcal {C}}^{k-1}$) et rien n'assure que si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ alors $f'$ en admet un, même à l'ordre $n-1$.

Par contre, on « gagne en régularité » en intégrant donc on peut être sûr de l’existence du développement limité de $F$.

Composition

Indication de procédé

Soit $g$ une seconde fonction, définie sur un intervalle contenant $b=f(a)$. Si $f$ et $g$ admettent chacune un développement limité à l'ordre $n$, respectivement en $a$ et $b$, alors $g\circ f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$, obtenu en composant ces deux développements limités.

Début de l'exemple

Exemple : développement limité à l'ordre 2 en 0 de $\mathrm {e} ^{\frac {1}{1-x}}$

Développement limité à l'ordre 2, en $a=0$, de $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ :

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+o(x^{2})$.

Développement limité à l'ordre 2, en $b=f(0)=1$, de $g(y)=\mathrm {e} ^{y}$ donc en 0 de $g(1+h)$ :

$\mathrm {e} ^{1+h}=\mathrm {e} \cdot \mathrm {e} ^{h}=\mathrm {e} \cdot \left(1+h+{\frac {h^{2}}{2}}+o(h^{2})\right)$.

Développement limité à l'ordre 2 en 0 de $\mathrm {e} ^{\frac {1}{1-x}}$ :

${\begin{aligned}{\rm {e}}^{\frac {1}{1-x}}&={\rm {e}}\cdot \left(1+(x+x^{2})+{\frac {(x+x^{2})^{2}}{2}}+o(x^{2})\right)\\&={\rm {e}}\cdot \left(1+x+{\frac {3}{2}}x^{2}+o(x^{2})\right).\end{aligned}}$

Fin de l'exemple

Parité

Propriété

Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$, $f(x)=P(x)+o(x^{n})$ et si $f$ est paire (resp. impaire) alors le polynôme $P$ est pair (resp. impair).

Exemples

Les exemples qui suivent illustrent quelques méthodes de calcul des développements limités souvent utilisées et montrent comment, grâce à ces propriétés, on peut obtenir de nouveaux développements limités.

Début de l'exemple

Développement limité en $0$ à l’ordre $5$ de $f(x)=\ln(1+x)$

Il suffit de remarquer que $\ln(1+x)=\int {\frac {\mathrm {d} x}{1+x}}=\int (1+x)^{-1}\mathrm {d} x$ et d’utiliser le développement limité de $(1+x)^{-1}$ et l'intégration des développements limités.

On a alors :

$(1+x)^{-1}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+o(x^{4})$ (on se contente de l’ordre $4$ : l'intégration permettra d'obtenir l’ordre $5$)

puis :

$f(x)=\ln(1+x)=\int {\frac {\mathrm {d} x}{1+x}}=\int (1+x)^{-1}\mathrm {d} x=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+o(x^{5})$.

Remarque : Dans cet exemple comme dans tous les autres, on pourrait aussi utiliser la formule de Taylor-Young. Elle a cependant le défaut de nécessiter des calculs de dérivées parfois fastidieux (dans cet exemple, il faudrait dériver la fonction $f$ jusqu'à l’ordre $5$).

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Développement limité en $0$ à l’ordre $3$ de $g(x)=\tan x$

On peut par exemple remarquer que $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$. Mais se pose alors un problème : comment faire le quotient des développements limités ?

Formons d’abord les développements limités de $\sin x$ et $\cos x$ en $0$ à l’ordre $3$ :

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+o(x^{3})$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+o(x^{2})$.

L'astuce consiste alors à poser $u={\frac {x^{2}}{2}}$ et à composer avec le développement limité de ${\frac {1}{1-u}}$ au point $\lim _{x\to 0}u=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{2}}=0$.

On obtiendra alors le développement limité de ${\frac {1}{\cos x}}$ en $0$, qu'on multipliera avec celui de $\sin x$ (faites les calculs : c’est un bon exercice).

On obtient, tous calculs faits, le développement limité de ${\frac {1}{\cos x}}$ en $0$ :

• ${\frac {1}{\cos x}}=1+u+u^{2}+o(u^{2})=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4}}+o(x^{4})=1+{\frac {x^{2}}{2}}+o(x^{3})$ car ${\frac {x^{4}}{4}}=o(x^{3})$ en $0$ ;
• $\tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+o(x^{3})$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Développement limité en ${\frac {\pi }{4}}$ de $s(x)=\sin x$ à l’ordre $2$

La méthode à retenir pour effectuer un développement limité au voisinage d'un réel non nul (ici ${\frac {\pi }{4}}$) consiste à effectuer un changement de variable pour « se ramener en zéro » : on pose donc ici $h=x-{\frac {\pi }{4}}$.

On obtient alors :

${\begin{aligned}s(x)=\sin x&=\sin \left(h+{\frac {\pi }{4}}\right)=\sin h\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos h\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left(1+h-{\frac {h^{2}}{2}}\right)+o\left(h^{2}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {{\sqrt {2}}(x-{\frac {\pi }{4}})}{2}}-{\frac {{\sqrt {2}}(x-{\frac {\pi }{4}})^{2}}{4}}+o\left(\left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)^{2}\right).\end{aligned}}$

Fin de l'exemple

Voyez aussi les exercices sur les développements limités.

Applications : calculs de limites et étude locale d'une fonction

La limite d'une fonction en un point $a$ est égale à celle de son développement limité en $a$.

Mais il y a nettement mieux : le développement limité donne une « vision » du comportement de la fonction au voisinage du point $a$. En particulier, pour trouver une équation de tangente (ou d'asymptote, voir le paragraphe suivant) en $a$ à la courbe de la fonction, il suffit de prendre les termes de degré $0$ et $1$ du développement limité.
Le signe des termes d'ordre supérieur donne la position de la courbe par rapport à cette tangente (ou asymptote).

Début de l'exemple

Exemple

On reprend l'exemple 3 ci-dessus. On peut en déduire que l'équation de la tangente à la courbe de $s:x\mapsto \sin x$ en ${\frac {\pi }{4}}$ est :

$y={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {{\sqrt {2}}(x-{\frac {\pi }{4}})}{2}}$.

Fin de l'exemple

Développements limités généralisés

Ce sont des développements limités en $+\infty$ ou en $-\infty$. On les déduit de ceux en $0$ par un changement de variable $h={\frac {1}{x}}$.