Fonctions d'une variable réelle/Développements limités

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Développements limités
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Chapitre no 6
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Relations de comparaison
Chap. suiv. :Convexité

Exercices :

Développements limités
Fiche :Développements limités
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Fonctions d'une variable réelle/Développements limités
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Dans tout ce chapitre, est une fonction définie sur un intervalle et continue en un point et est un entier naturel.

DéfinitionModifier


 
La fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0.

L'idée à retenir est qu'un développement limité est une approximation polynomiale au voisinage du point où il est effectué : l'image le montre bien.

Formules de TaylorModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Taylor ».

Nous exposons ici trois formules de Taylor :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque
Pour démontrer ce théorème, on utilise celui d'intégration terme à terme (voir infra). Ces deux théorèmes se généralisent aux fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre : voir Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Développement limité.

La formule de Taylor-Young est à usage local (du fait de la présence du  ).

Les autres formules de Taylor sont à usage global.

Elles permettent notamment de préciser la valeur du « reste » de la formule de Taylor-Young :

Début d’un théorème
Fin du théorème


La formule de Taylor-Lagrange et son corollaire immédiat, l'inégalité de Taylor-Lagrange, sont des généralisations respectives du théorème des accroissements finis et de l'inégalité des accroissements finis (voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité).

Début d’un théorème
Fin du théorème

(Si  , on a un énoncé analogue en remplaçant   par   et   par  .)


Développements limités des fonctions usuelles en zéroModifier

On a alors les développements limités des fonctions usuelles, directement (ou presque) avec la formule de Taylor-Young :

  • le développement limité à l’ordre   d'une fonction polynomiale est la troncature de cette fonction à l’ordre   ;
  •  
  •  
  •  
  •  
    avec   et   (si  , c’est un polynôme…) ;
    • Cas particulier :   :
       
      et  .

Remarque : On trouvera parfois dans d'autres sources des listes (beaucoup) plus longues de développements limités à connaître. Cependant, ceux présentés ci-dessus suffisent dans la pratique ; les exemples ci-dessous montrent comment obtenir d'autres développements limités à partir de ceux-ci.

Propriétés des développements limitésModifier

Somme et produitModifier

Dérivation et intégration terme à termeModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque
Ce théorème d'« intégration » (plus exactement : de primitivation) terme à terme s'étend aux fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre : voir Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Développement limité.

Pourquoi ne peut-on pas dériver un développement limité terme à terme comme on peut le faire pour une primitive ?

Pour comprendre, on peut prendre l'exemple classique de  , prolongée par  . Cette fonction admet un développement limité d'ordre   en   mais   n'a pas de limite en   donc pas de développement limité en   (même à l'ordre  ).

L'idée est qu'en dérivant, on « perd (au moins un peu) la régularité » de la fonction (si   est de classe  , alors   est de classe  ) et rien n'assure que si   admet un développement limité à l'ordre   alors   en admet un, même à l'ordre  .

Par contre, on « gagne en régularité » en intégrant donc on peut être sûr de l’existence du développement limité de  .

CompositionModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


ParitéModifier

ExemplesModifier

Les exemples qui suivent illustrent quelques méthodes de calcul des développements limités souvent utilisées et montrent comment, grâce à ces propriétés, on peut obtenir de nouveaux développements limités .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Voyez aussi les exercices sur les développements limités.

Applications : calculs de limites et étude locale d'une fonctionModifier

La limite d'une fonction en un point   est égale à celle de son développement limité en  .

Mais il y a nettement mieux : le développement limité donne une « vision » du comportement de la fonction au voisinage du point  . En particulier, pour trouver une équation de tangente (ou d'asymptote, voir le paragraphe suivant) en   à la courbe de la fonction, il suffit de prendre les termes de degré   et   du développement limité.
Le signe des termes d'ordre supérieur donne la position de la courbe par rapport à cette tangente (ou asymptote).

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Développements limités généralisésModifier

Ce sont des développements limités en   ou en  . On les déduit de ceux en   par un changement de variable  .