Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Formule de Simpson

1. Soit g impaire et 5 fois dérivable sur [-1;1].

Montrer qu’il existe $\theta \in ]0;1[$ tel que $g(1)={\frac {1}{3}}(g'(1)+2g'(0))-{\frac {1}{180}}g^{(5)}(\theta )$

Indication : Poser $\varphi (t)=g(t)-{\frac {t}{3}}(g'(t)+2g'(0))+{\frac {A}{180}}t^{5}$, A étant choisi tel que φ(1)=0

2. Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 5 fois dérivable.

Montrer qu’il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f(b)=f(a)+{\frac {b-a}{6}}\left(f'(a)+f'(b)+4f'\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(5)}(c)$

Solution

1. L’idée est d'appliquer le théorème de Rolle à quatre reprises.

Tout d’abord, il faut noter que la fonction $\varphi$ est bien quatre fois dérivable sur [-1;1] (vrai, parce que g et g' le sont également).

De plus, $\varphi (1)=\varphi (0)=0$. Le théorème de Rolle s'applique, et il existe $\theta _{1}\in ]0;1[$ tel que $\varphi '(\theta _{1})=0$.

On fait les calculs :

$\varphi '(t)={\frac {2}{3}}g'(t)-{\frac {2}{3}}g'(0)-{\frac {1}{3}}tg''(t)+{\frac {At^{4}}{36}}$

$\varphi ''(t)={\frac {1}{3}}g''(t)-{\frac {1}{3}}tg^{(3)}(t)+{\frac {At^{3}}{9}}$

$\varphi ^{(3)}(t)=-{\frac {1}{3}}tg^{(4)}(t)+{\frac {At^{2}}{3}}$

$\varphi ^{(4)}(t)=-{\frac {1}{3}}g^{(4)}(t)-{\frac {1}{3}}tg^{(5)}(t)+{\frac {2At}{3}}$

Comme g est impaire, $g''$ et $g^{(4)}$ aussi, on a $g(0)=g''(0)=g^{(4)}(0)=0$, d'où : $\varphi '(0)=\varphi ''(0)=\varphi ^{(3)}(0)=\varphi ^{(4)}(0)=0$.

Ainsi, en appliquant le théorème de Rolle sur les dérivées successives de $\varphi$, on construit des réels $(\theta _{k})$ tels que $0<\theta _{k+1}<\theta _{k}$ et $\varphi ^{(k)}(\theta _{k})=0$