Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité

Dérivabilité
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Exercices no3
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Dérivabilité

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Inégalités
Exo suiv. :Formule de Simpson
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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité
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Exercice 1Modifier

Soit

 

Montrer que   est de classe C1.

Soit  . Montrer que   est de classe C (utiliser les limites).

Soit   pour tout  . Montrer que   est de classe C2 et donner   et  .

Exercice 2 : Généralisation du théorème de RolleModifier

Soient   et   une fonction dérivable qui possède en   et   une même limite   (éventuellement infinie).

En utilisant soit l'exercice 1 de la série sur la continuité, soit l'exercice 3 de cette même série, montrer qu’il existe un réel   tel que  .

Application 1 : soient   et   deux polynômes réels,   ayant une racine réelle  , et   vérifiant  . Démontrer que   a une racine réelle  .

Application 2 : dans le plan euclidien  , on donne un point   avec  . Une droite variable passant par   coupe l'axe des   en   (sur la demi-droite des  ) et l'axe des   en   (sur la demi-droite des  ). Montrer qu'il y a une longueur minimale du segment  , la calculer, et donner alors les positions de   et  .

Exercice 3Modifier

Inspiré de Cristinel Mortici, « A converse of the mean value theorem made easy », International Journal of Mathematical Education, vol. 42, no 1, 2011, p. 89-91.

  1. Soient
    •   la fonction définie par :   et   ;
    •   et   les deux suites (convergeant vers  ) définies par :   et  .
      Montrer que  .
  2. Soient
    •   une fonction dérivable en un point   ;
    •   et   deux suites convergeant vers   telles que  .
      Montrer que  .
  1. Démontrer, sans la calculer, que la dérivée de la fonction   ci-dessus n'est pas continue en  .
  2. En déduire qu'il existe une fonction   croissante et dérivable, telle que   soit discontinue en   et  .
  3. Utiliser   pour construire une fonction  , croissante et dérivable sur  , telle que les points de discontinuité de   soient les entiers relatifs.

Soit, à nouveau, la fonction   ci-dessus. Étudier l'existence et comparer les valeurs éventuelles de

 .

Exercice 4Modifier

Soit  , de degré  .

  1. Montrer que si   est scindé à racines simples (c'est-à-dire s'il a   racines réelles distinctes), alors   est scindé à racines simples.
  2. Montrer que si   est scindé (c'est-à-dire si la somme des ordres de multiplicité de ses racines réelles est  ), alors   est scindé.
  1. Montrer qu'un polynôme de la forme   ( ) possède au plus trois racines réelles distinctes.
  2. Généraliser ce résultat aux polynômes de la forme   avec  .

Soit   un polynôme de degré  . Montrer que le graphe de la fonction   intersecte le graphe de la fonction exponentielle en au plus   points.

Exercice 5Modifier

Soit   dérivable en 0. Pour  , on pose  .

  1. On pose  . Déterminer  .
  2. Montrer que  .
  3. Montrer que   puis en déduire  .
  4. Application : déterminer  .

Exercice 6Modifier

Donner la dérivée n-ième de  .

Soit  . Donner une expression de   (utiliser la décomposition de   en éléments simples).

Exercice 7Modifier

Soit   une fonction dérivable telle que  . Montrer que   est soit constante, soit l'application identité.

Exercice 8Modifier

Calculer les dérivées et donner le domaine de définition des fonctions réelles de la variable réelle :

  1.   (quelle relation existe-t-il entre   et   ?)
  2.  
  3.   (quelle relation existe-t-il entre   et   ?)
  4.   (quelle relation existe-t-il entre   et   ?)
  5.   (quelle relation existe-t-il entre   et   ? dessiner le graphe de  ).

Calculer les dérivées des fonctions suivantes (sur le domaine où elles sont dérivables) :

 .

Soit   une fonction dérivable. Calculer les dérivées des fonctions  ,   et  .

Exercice 9Modifier

  1. Calculer la dérivée de  .
  2. Montrer que l'équation   admet au moins une solution dans  .

Soit  . Démontrer que    est un polynôme, et que   possède une racine réelle  .

Exercice 10Modifier

Pour tout  , on pose  .

  1. Montrer que   est une bijection de   sur  .
  2. Soit   (l'application réciproque de  ). Calculer   et  .

Soit  . Déterminer le plus grand intervalle contenant   sur lequel   admet une fonction réciproque   dérivable. Précisez le domaine de définition de   et calculer son ensemble image. Calculer  .

On pose   si   et  .

  1. Étudier la dérivabilité de  .
  2. Montrer que   est strictement croissante sur  .
  3. Calculer  .

Exercice 11Modifier

Étudier les fonctions   et  . (Domaine de définition, tableau de variations, prolongement par continuité en  , dérivabilité…).

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