Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité
Exercice 1Modifier
Soit
Montrer que est de classe C1.
Pour tout ,
Par conséquent, sur , est de classe C1 (et même C∞).
En 0, est continue et a une limite finie. D'après le théorème « limite de la dérivée », elle est donc aussi de classe C1 en 0.
Soit . Montrer que est de classe C∞ (utiliser les limites).
Pour tout ,
- .
Par conséquent, sur , est de classe C1 (et même C∞).
En 0, est continue et a une limite finie (nulle, par croissances comparées). D'après le théorème « limite de la dérivée », elle est donc aussi de classe C1 en 0.
Pour montrer de même que plus généralement, elle est C∞ en 0, on utilise que pour toute fraction rationnelle , .
Soit pour tout . Montrer que est de classe C2 et donner et .
, .
Exercice 2 : Généralisation du théorème de RolleModifier
Soient et une fonction dérivable qui possède en et une même limite (éventuellement infinie).
En utilisant soit l'exercice 1 de la série sur la continuité, soit l'exercice 3 de cette même série, montrer qu’il existe un réel tel que .
- En utilisant l'exercice 1 sur la continuité
- Supposons que n’est pas constante (sinon le résultat est trivial). Il existe donc tel que . Soit strictement compris entre et . D'après l'exercice 1 appliqué aux restrictions de aux deux intervalles et , il existe deux réels et tels que et . On conclut en appliquant le théorème de Rolle à sur .
- En utilisant l'exercice 3 sur la continuité
- D'après l'exercice 3, admet un extremum global en un point . D'après le théorème de Fermat sur les extrema locaux, .
Application 1 : soient et deux polynômes réels, ayant une racine réelle , et vérifiant . Démontrer que a une racine réelle .
On applique ce qui précède à , .
Application 2 : dans le plan euclidien , on donne un point avec . Une droite variable passant par coupe l'axe des en (sur la demi-droite des ) et l'axe des en (sur la demi-droite des ). Montrer qu'il y a une longueur minimale du segment , la calculer, et donner alors les positions de et .
On a et donc .
. Il existe donc en lequel est minimum, et l'on a alors :
donc , , ,
, , .
Variante : , , d'où
, ,
Exercice 3Modifier
Inspiré de Cristinel Mortici, « A converse of the mean value theorem made easy », International Journal of Mathematical Education, vol. 42, no 1, 2011, p. 89-91.
- Soient
- la fonction définie par : et ;
- et les deux suites (convergeant vers ) définies par : et .
Montrer que .
- Soient
- une fonction dérivable en un point ;
- et deux suites convergeant vers telles que .
Montrer que .
- donc .
donc . - Il existe deux suites telles que
donc telles que
- Démontrer, sans la calculer, que la dérivée de la fonction ci-dessus n'est pas continue en .
- En déduire qu'il existe une fonction croissante et dérivable, telle que soit discontinue en et .
- Utiliser pour construire une fonction , croissante et dérivable sur , telle que les points de discontinuité de soient les entiers relatifs.
- En appliquant le théorème des accroissements finis et la question 1 ci-dessus, on obtient : il existe une suite , comprise entre et donc de limite nulle, telle que .
- Les contraintes sur ne sont pas un problème : il suffit de définir sur une fonction croissante et dérivable telle que soit discontinue en , puis de la prolonger une fonction sur vérifiant les conditions requises. La fonction ne convient pas tout à fait pour car elle n'est pas croissante. Toutefois, est bornée. Soit un minorant de , on peut poser .
- Soit , il suffit de recoller le graphe de avec ses translatés de proche en proche, en posant .
Soit, à nouveau, la fonction ci-dessus. Étudier l'existence et comparer les valeurs éventuelles de
- .
n'existe pas, tandis que
.
Exercice 4Modifier
Soit , de degré .
- Montrer que si est scindé à racines simples (c'est-à-dire s'il a racines réelles distinctes), alors est scindé à racines simples.
- Montrer que si est scindé (c'est-à-dire si la somme des ordres de multiplicité de ses racines réelles est ), alors est scindé.
- Notons les racines de . D'après le théorème de Rolle, pour chaque de à , il existe tel que , donc a au moins racines réelles distinctes… et bien sûr au plus, puisqu'il est de degré .
- Notons les racines de et leurs ordres de multiplicités. Comme précédemment, pour chaque de à , il existe tel que . De plus, est racine d'ordre de (si , n'est donc pas racine de , mais cela n'obère pas la suite du raisonnement). Le nombre de racines de (comptées avec leurs multiplicités) est donc au moins … et bien sûr au plus, comme précédemment.
Référence : D. Guinin et B. Joppin, Mathématiques MPSI - Exercices, Bréal, 2003 [lire en ligne], p. 64
- Montrer qu'un polynôme de la forme ( ) possède au plus trois racines réelles distinctes.
- Généraliser ce résultat aux polynômes de la forme avec .
- et . Puisque n'a qu'une racine, d'après Rolle, en a au plus 2 et donc en a au plus 3.
- Par récurrence sur , un tel polynôme a au plus racines.
Soit un polynôme de degré . Montrer que le graphe de la fonction intersecte le graphe de la fonction exponentielle en au plus points.
Récurrence. Vrai pour . On suppose que c'est vrai pour un polynôme de degré . Soit un polynôme de degré . Par hypothèse de récurrence, s'annule au plus fois. Par Rolle, sa primitive s'annule alors au plus fois.
Exercice 5Modifier
Soit dérivable en 0. Pour , on pose .
- On pose . Déterminer .
- Montrer que .
- Montrer que puis en déduire .
- Application : déterminer .
- Soit .
- Par l'inégalité triangulaire, le résultat s'ensuit.
- Soit . Pour suffisamment grand, on a :
- donc
- donc d'après la question précédente, ,
- ce qui prouve que et par conséquent, .
- D'après ce qui précède appliqué à ,
- donc .
Exercice 6Modifier
Donner la dérivée n-ième de .
avec et .
D'après la formule de Leibniz,
- (avec sauf si ).
Or :
- , et pour , ;
- pour , .
Par conséquent,
Soit . Donner une expression de (utiliser la décomposition de en éléments simples).
.
Exercice 7Modifier
Soit une fonction dérivable telle que . Montrer que est soit constante, soit l'application identité.
Dire que revient à dire que sur , est l'identité. Or est continue donc avec .
Si , est constante. Si , montrons par l'absurde que (on aura de même , donc sera bien l'identité sur ).
Puisque est l'identité sur , et (puisque ) . Si de plus , on peut donc trouver assez petit tel que . Ce n'est pas possible puisque .
Exercice 8Modifier
Calculer les dérivées et donner le domaine de définition des fonctions réelles de la variable réelle :
- (quelle relation existe-t-il entre et ?)
- (quelle relation existe-t-il entre et ?)
- (quelle relation existe-t-il entre et ?)
- (quelle relation existe-t-il entre et ? dessiner le graphe de ).
Calculer les dérivées des fonctions suivantes (sur le domaine où elles sont dérivables) :
- .
- .
- .
- .
Soit une fonction dérivable. Calculer les dérivées des fonctions , et .
- .
- .
- .
Exercice 9Modifier
- Calculer la dérivée de .
- Montrer que l'équation admet au moins une solution dans .
- .
- donc (Rolle) s'annule au moins une fois sur . (Vue la première question, c'était la réponse attendue. Il y en a cependant une plus simple : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction continue , puisque et .)
Soit . Démontrer que où est un polynôme, et que possède une racine réelle .
Par récurrence, pour de à , où est un polynôme.
s'annule en et en donc (par Rolle) possède (outre 0) une racine réelle , donc aussi, etc.
Exercice 10Modifier
Pour tout , on pose .
- Montrer que est une bijection de sur .
- Soit (l'application réciproque de ). Calculer et .
- Pour tout , . Donc est strictement croissante (donc injective) sur . Comme elle est de plus continue, son image est .
- est l'unique réel tel que , soit . Donc , et .
Soit . Déterminer le plus grand intervalle contenant sur lequel admet une fonction réciproque dérivable. Précisez le domaine de définition de et calculer son ensemble image. Calculer .
est bijective de dans , et .
est donc définie sur et son ensemble image est l'ensemble des nombres de la forme quand parcourt : .
Pour donc .
On pose si et .
- Étudier la dérivabilité de .
- Montrer que est strictement croissante sur .
- Calculer .
- , (n'a pas de limite en , mais) .
- Il suffit de montrer que si et alors , c'est-à-dire , avec .
Une étude des variations de la fonction montre que sur , son max est atteint en et vaut , et sur , son min est atteint en et vaut . Pour que il suffit donc que , ou et , ou et , ce qui est vrai dès que , quel que soit le signe de . - pour , donc .
Exercice 11Modifier
Étudier les fonctions et . (Domaine de définition, tableau de variations, prolongement par continuité en , dérivabilité…).
- Pour , se prolonge en posant .
.
,
donc . - Pour , se prolonge en posant .
.
, .
Quand , , donc n'est pas dérivable en .
Liens externesModifier
- « Dérivée d'une fonction (calculateur en ligne) », sur dcode.fr
- « L1 Analyse → 124 : Dérivabilité des fonctions réelles → 124.02 : Théorème de Rolle et accroissements finis », sur exo7