En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dérivabilité Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Par conséquent, sur , est de classe C1 (et même C∞).
En 0, est continue et a une limite finie. D'après le théorème « limite de la dérivée », elle est donc aussi de classe C1 en 0.
Soit . Montrer que est C∞.
Solution
est évidemment C∞ sur . Montrons par récurrence sur que pour , , pour un certain polynôme .
C'est vrai pour , avec . Supposons que c'est vrai pour et montrons que ça l'est pour .
D'après l'hypothèse de récurrence, , avec
, qui est bien un polynôme si en est un.
On en déduit par récurrence que existe et vaut : c'est vrai pour par définition de , et si c'est vrai pour alors ça l'est pour car , par croissances comparées.
Soit pour tout . Montrer que est de classe C2 et donner et .
Solution
, .
Exercice 2 : Généralisation du théorème de Rollemodifier
Soient et une fonction dérivable qui possède en et une même limite (éventuellement infinie).
Supposons que n’est pas constante (sinon le résultat est trivial). Il existe donc tel que . Soit strictement compris entre et . D'après l'exercice 1 appliqué aux restrictions de aux deux intervalles et , il existe deux réels et tels que et . On conclut en appliquant le théorème de Rolle à sur .
Application 1 : soient et deux polynômes réels, ayant une racine réelle , et vérifiant . Démontrer que a une racine réelle .
Solution
On applique ce qui précède à , .
Application 2 : dans le plan euclidien , on donne un point avec . Une droite variable passant par coupe l'axe des en (sur la demi-droite des ) et l'axe des en (sur la demi-droite des ). Montrer qu'il y a une longueur minimale du segment , la calculer, et donner alors les positions de et .
Solution
On a et donc .
. Il existe donc en lequel est minimum, et l'on a alors :
et les deux suites (convergeant vers ) définies par : et . Montrer que .
Soient
une fonction dérivable en un point ;
et deux suites convergeant vers telles que . Montrer que .
Solution
donc . donc .
Il existe deux suites telles que donc telles que
Démontrer, sans la calculer, que la dérivée de la fonction ci-dessus n'est pas continue en .
En déduire qu'il existe une fonction croissante et dérivable, telle que soit discontinue en et .
Utiliser pour construire une fonction , croissante et dérivable sur , telle que les points de discontinuité de soient les entiers relatifs.
Solution
En appliquant le théorème des accroissements finis et la question 1 ci-dessus, on obtient : il existe une suite , comprise entre et donc de limite nulle, telle que .
Les contraintes sur ne sont pas un problème : il suffit de définir sur une fonction croissante et dérivable telle que soit discontinue en , puis de la prolonger une fonction sur vérifiant les conditions requises. La fonction ne convient pas tout à fait pour car elle n'est pas croissante. Toutefois, est bornée. Soit un minorant de , on peut poser .
Soit , il suffit de recoller le graphe de avec ses translatés de proche en proche, en posant .
Soit, à nouveau, la fonction ci-dessus. Étudier l'existence et comparer les valeurs éventuelles de
Montrer que si est scindé à racines simples (c'est-à-dire s'il a racines réelles distinctes), alors est scindé à racines simples.
Montrer que si est scindé (c'est-à-dire si la somme des ordres de multiplicité de ses racines réelles est ), alors est scindé.
Solution
Notons les racines de . D'après le théorème de Rolle, pour chaque de à , il existe tel que , donc a au moins racines réelles distinctes… et bien sûr au plus, puisqu'il est de degré .
Notons les racines de et leurs ordres de multiplicités. Comme précédemment, pour chaque de à , il existe tel que . De plus, est racine d'ordre de (si , n'est donc pas racine de , mais cela n'obère pas la suite du raisonnement). Le nombre de racines de (comptées avec leurs multiplicités) est donc au moins … et bien sûr au plus, comme précédemment.
Référence : D. Guinin et B. Joppin, Mathématiques MPSI - Exercices, Bréal, 2003 [lire en ligne], p. 64
Montrer qu'un polynôme de la forme () possède au plus trois racines réelles distinctes.
Généraliser ce résultat aux polynômes de la forme avec .
Solution
et . Puisque n'a qu'une racine, d'après Rolle, en a au plus 2 et donc en a au plus 3.
Par récurrence sur , un tel polynôme a au plus racines.
Soit un polynôme de degré . Montrer que le graphe de la fonction intersecte le graphe de la fonction exponentielle en au plus points.
Solution
Récurrence. Vrai pour . On suppose que c'est vrai pour un polynôme de degré . Soit un polynôme de degré . Par hypothèse de récurrence, s'annule au plus fois. Par Rolle, sa primitive s'annule alors au plus fois.
Montrer que l'équation admet au moins une solution dans .
Solution
.
donc (Rolle) s'annule au moins une fois sur . (Vue la première question, c'était la réponse attendue. Il y en a cependant une plus simple : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction continue , puisque et .)
Soit . Démontrer que où est un polynôme, et que possède une racine réelle .
Solution
Par récurrence, pour de à , où est un polynôme.
s'annule en et en donc (par Rolle) possède (outre 0) une racine réelle , donc aussi, etc.
Soit (l'application réciproque de ). Calculer et .
Solution
Pour tout , . Donc est strictement croissante (donc injective) sur . Comme elle est de plus continue, son image est .
est l'unique réel tel que , soit . Donc , et .
Soit . Déterminer le plus grand intervalle contenant sur lequel admet une fonction réciproque dérivable. Précisez le domaine de définition de et calculer son ensemble image. Calculer .
Solution
est bijective de dans , et .
est donc définie sur et son ensemble image est l'ensemble des nombres de la forme quand parcourt : .
Pour donc .
On pose si et .
Étudier la dérivabilité de .
Montrer que est strictement croissante sur .
Calculer .
Solution
, (n'a pas de limite en , mais) .
Il suffit de montrer que si et alors , c'est-à-dire , avec . Une étude des variations de la fonction montre que sur , son max est atteint en et vaut , et sur , son min est atteint en et vaut . Pour que il suffit donc que , ou et , ou et , ce qui est vrai dès que , quel que soit le signe de .
Soient et deux fonctions continues sur , deux fois dérivables sur , telles que
et .
Montrer que
.
Solution
Soit . donc . Comme , est croissante donc sur et sur , donc est décroissante sur
et croissante sur , donc négative sur (car nulle aux extrémités), d'où .
Soit . Montrer que a une unique racine réelle positive, que l'on nommera .
Montrer que la suite est croissante puis qu'elle converge, vers une limite que l'on notera .
Montrer que est racine du polynôme . En déduire sa valeur.
Solution
et . Comme l'application est continue, elle s'annule en (au moins) un point de l'intervalle . Comme par ailleurs, pour tout , , l'application est strictement croissante sur et s'annule en au plus un point de . Par conséquent, a une unique racine positive , qui de plus appartient .
Pour tout , . En particulier donc . La suite est donc croissante et majorée (cf. question 1) : elle est convergente.
Pour tout , on a l'égalité : . Or donc la suite satisfait aux inégalités et converge vers . Il en va de même de la suite . En passant à la limite, on obtient l'égalité : . La seule solution positive de cette équation étant , on a l'égalité : .
Montrer que avec , il existe un unique réel dans , indépendant de et noté , tel que .
Montrer que . En déduire .
Solution
On cherche tel que , c'est-à-dire tel que . On sait par ailleurs (accroissements finis pour entre et , ou pour la fonction exponentielle entre et ) qu'il existe un tel dans . Donc et l'unique solution, , est indépendante de et appartient à .
L'équivalent en 0 de est fourni par un d.l. de à l'ordre 2. avec , d'où .