Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Théorème de Darboux

Théorème de Darboux
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Exercices no5
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Dérivabilité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Formule de Simpson
Exo suiv. :Inégalité des accroissements finis généralisée
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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Théorème de Darboux
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Cette série d'exercices propose essentiellement deux démonstrations du théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème

La première est due à Darboux, dans son mémoire de 1875 et la seconde à Lebesgue, dans son mémoire de 1904. L'argument principal de la seconde (dont on verra des variantes) permettra en outre de formuler « une réciproque » du théorème des accroissements finis.

Remarque
Il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue. D'après le théorème de Darboux, leurs dérivées sont des fonctions non continues qui vérifient pourtant la propriété des valeurs intermédiaires. Darboux donne l'exemple (prolongée par ), dont la dérivée n'est pas continue en , et à l'aide de laquelle il construit même des fonctions dérivables dont la dérivée n'est continue en aucun rationnel.

NotationsModifier

On suppose   dérivable et, sans perte de généralité,  . Il s'agit de montrer que   est un nombre dérivé de  .

On note   et  . L'ensemble des taux de variation de   est donc  .

Les démonstrations feront aussi intervenir la fonction auxiliaire (dérivable)  .

Démonstration de DarbouxModifier

  1. Démontrer qu'il existe   tels que  .
  2. Montrer que pour de tels   et   on a   et  .
  3. En déduire que   a un minimum en un point  .
  4. Conclure.

Démonstration de LebesgueModifier

  1. Démontrer que  , de trois façons :
    1. (Adaptation de la démonstration de Lebesgue.) En montrant d'abord que   est un intervalle, puis en utilisant la question 1 de la démonstration de Darboux.
    2. (Démonstration de Lars Olsen (2004).) En considérant
       
    3. En remarquant d'abord que   n'est pas monotone, d'après la question 2 de la démonstration de Darboux.
  2. Conclure.

Une réciproque du théorème des accroissements finisModifier

Inspiré de Cristinel Mortici, « A converse of the mean value theorem made easy », International Journal of Mathematical Education, vol. 42, no 1, 2011, p. 89-91, lui-même inspiré de Jingcheng Tong et Peter A. Braza, « A converse of the mean value theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 104, no 10, 1997, p. 939-942.

Début d’un théorème
Fin du théorème


  1. Trouver une fonction   dérivable et injective telle que  , et en déduire que la condition « non extrémale » est indispensable.
  2. Déduire le point 1 du théorème du point 1 de la démonstration de Lebesgue.
  3. Démontrer le point 2.
  4. En déduire que si   n'est pas un extremum local et si, au voisinage du point  , cette valeur n'est atteinte qu'en  , il existe encore   vérifiant les propriétés 1 et 2.
Remarque
Tong et Braza ont baptisé le point 1 du théorème « forme faible » (d'une réciproque du TAF) et ont appelé « forme forte » le résultat de la question 4. Ils supposaient inutilement que les bornes de   sont finies et distinctes de   et que   admet une limite finie en ces deux points (probablement pour que la formulation de leur théorème ressemble plus à une réciproque du TAF). Mortici a fait de même.