Fonctions de Rn dans Rp

Cette ébauche avait pour intention la présentation et l'étude des fonctions (non nécessairement linéaires) d'un espace vectoriel réel à n dimensions dans un espace vectoriel réel à p dimensions.

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Elle était censée être de niveau 14. Les prérequis conseillés étaient :

• Fonctions (11) et applications (14)
• Limites d'une fonction (12)
• Espaces vectoriels (14)

Pour aller plus loin, voir la leçon Calcul différentiel (15).

Introduction

Les fonctions sont un outil parmi les plus puissants des mathématiques. Cet outil est bien connu depuis le secondaire lorsque l’ensemble de définition et l’ensemble image sont tous les deux de dimension 1 (voire dénombrables ou finis). Cette leçon se concentre sur les fonctions entre ensembles de dimensions supérieures, en particulier entre des espaces vectoriels réels de dimensions respectives n et p qui sont deux entiers supérieurs à 1.

Début de l'exemple

Exemple

Imaginons un océan (infini et cartésien pour les besoins de l'exemple), chaque endroit de sa surface est repéré par sa latitude et sa longitude ; il est donc identifiable à $\mathbb {R} ^{2}$.

À chacun de ces points, nous pouvons associer différentes quantités :

1. la température de l'air au niveau de la mer ;
2. le courant de surface (donc supposé dans le plan de l'eau) ;
3. le vent au sommet des mats (il peut donc y avoir une composante verticale).

Nous définissons dès lors trois fonctions, chacun définie sur $\mathbb {R} ^{2}$, mais à valeurs, respectivement :

1. dans les réels, car la température est un sous-ensemble des nombres réels ;
2. dans $\mathbb {R} ^{2}$, car le courant donné parallèlement au plan horizontal est identifié par ses composantes en longitude et latitude (l'angle donne la direction, la norme donne l'intensité du courant) ;
3. dans $\mathbb {R} ^{3}$, car le vent, selon la description de l'exemple, peut s'exprimer selon un vecteur à trois dimensions (composante longitude, latitude et altitude, la norme étant la force du vent).

On a donc défini des fonctions, respectivement :

1. $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ;
2. $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ;
3. $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$.

Fin de l'exemple

Rappel : fonction de R dans R

Fonction réelle d'une variable réelle

Une fonction réelle $f$ d'une variable réelle x est une relation qui, à chaque réel x, associe au plus une valeur réelle, appelée « image de x par f » et notée $f(x)$.

On note : $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto f(x)$.

Lorsque $f$ est partout définie (c'est-à-dire que pour toute valeur de la variable, l'image existe), on parle d'application.

Fonction de Rⁿ dans R

Fonction réelle à plusieurs variables réelles

Une fonction réelle f de n variables réelles est une relation qui, à chaque n-uplet de réels, associe au plus une valeur réelle.

On note : $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$.

Notons bien que le n-uplet peut être noté comme les n coordonnées d'un vecteur de $\mathbb {R} ^{n}$.

Fonction de Rⁿ dans R^p

Fonction dans R^p à plusieurs variables réelles

Considérons p fonctions réelles de n variables réelles $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\mapsto f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$, k allant de 1 à p.

Une fonction f dans $\mathbb {R} ^{p}$ de n variables réelles est une relation, qui à chaque n-uplet de réels, associe au plus un p-uplet de réels.

On note : $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}:(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\mapsto (f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,f_{p}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))$.