Fonctions homographiques/Exercices/Réduction

Mise au même dénominateur

Mettre sous la forme ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ les expressions des fonctions homographiques suivantes :

• $f_{1}(x)=2-{\frac {3}{x+1}}$ ;
• $f_{2}(x)=-2+{\frac {1}{2x-1}}$ ;
• $f_{3}(x)=-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3(3x-4)}}$.

Solution

• $f_{1}(x)={\frac {2(x+1)-3}{x+1}}={\frac {2x-1}{x+1}}$ ;
• $f_{2}(x)={\frac {-2(2x-1)+1}{2x-1}}={\frac {-4x+3}{2x-1}}$ ;
• $f_{3}(x)={\frac {-{\frac {2}{3}}3(3x-4)+1}{3(3x-4)}}={\frac {-2(3x-4)+1}{3(3x-4)}}={\frac {-6x+9}{3(3x-4)}}={\frac {3(-2x+3)}{3(3x-4)}}={\frac {-2x+3}{3x-4}}$.

 

Calculatrice

Tracer les graphes des fonctions $f_{1}$, $f_{2}$ et $f_{3}$ sur la calculatrice dans une fenêtre appropriée pour déterminer les équations des asymptotes horizontales et donner les équations de ces asymptotes.

Solution

• $f_{1}$ :
  • Graphique Google ($x_{min}=-6,\quad x_{max}=4,\quad y_{min}=-3,\quad y_{max}=7$).
  • Équation de l'asymptote horizontale : $y=2$.
• $f_{2}$ :
  • Graphique Google ($x_{min}=-2,\quad x_{max}=3,\quad y_{min}=-4,\quad y_{max}=1$).
  • Équation de l'asymptote horizontale : $y=-2$.
• $f_{3}$ :
  • Graphique Google ($x_{min}=-1,\quad x_{max}=4,\quad y_{min}=-3,\quad y_{max}=2$).
  • Équation de l'asymptote horizontale : $y=-{\frac {2}{3}}$.

 

Tableau de variation

Tracer les graphes des fonctions $f_{1}$, $f_{2}$ et $f_{3}$ sur la calculatrice dans une fenêtre appropriée pour déterminer leurs tableaux de variation.

Donner ces tableaux de variation.

Solution

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&&-1&&&+\infty \\\hline &2&&&\|&+\infty &&\\f_{1}(x)&&\searrow &&\|&&\searrow &\\&&&-\infty &\|&&&2\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&&{\frac {1}{2}}&&&+\infty \\\hline &-2&&&\|&+\infty &&\\f_{2}(x)&&\searrow &&\|&&\searrow &\\&&&-\infty &\|&&&-2\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&&{\frac {4}{3}}&&&+\infty \\\hline &-{\frac {2}{3}}&&&\|&+\infty &&\\f_{3}(x)&&\searrow &&\|&&\searrow &\\&&&-\infty &\|&&&-{\frac {2}{3}}\\\hline \end{array}}$