Trigonométrie/Relations trigonométriques

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Les relations trigonométriques sont les égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

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La tangente comme quotient

Soit la variable $x$ dont la mesure est différente de ${\frac {\pi }{2}}$ et de $-{\frac {\pi }{2}}$.

La fonction tangente est définie comme le quotient de la fonction sinus par la fonction cosinus : $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$.

Concernant la parité : $\tan(-x)=-\tan(x)$, puisque $\sin(-x)=-\sin(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$. La fonction tangente est donc impaire.

Démonstration

On a vu que

$\cos({\widehat {A}})={\frac {AB}{AC}}\qquad \sin({\widehat {A}})={\frac {BC}{AC}}\qquad \tan({\widehat {A}})={\frac {BC}{AB}}.$

Ainsi

$\tan({\widehat {A}})={\frac {BC}{AB}}={\frac {\frac {BC}{AC}}{\frac {AB}{AC}}}={\frac {\sin({\widehat {A}})}{\cos({\widehat {A}})}}$

donc pour tout angle $x$ différent de ${\frac {\pi }{2}}$ et de $-{\frac {\pi }{2}}$ (car $\cos(x)\neq 0$), on a : $\tan({x})={\frac {\sin({x})}{\cos({x})}}$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Sachant que $\cos(x)=0,5$ et $\sin(x)\approx 0{,}866$, calculer une valeur approchée de $\tan(x)$.

Solution

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\approx {\frac {0{,}866}{0{,}5}}\approx 1{,}732$.

 

Fin de l'exemple

Formule liant les fonctions cosinus et sinus (Formule fondamentale)

On a pour tout réel $x$ : $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$

Démonstration

Triangle rectangle dans le cercle trigonométrique, montrant le lien entre cosinus et sinus.

On utilise le théorème de Pythagore, qui stipule que

« Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »

Sur le cercle trigonométrique ci-contre, cela se traduit par :

$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$.

Or ici :

• $AC=1$ ;
• $AD=\cos {\widehat {CAD}}$ ;
• $CD=\sin {\widehat {CAD}}$.

Ainsi, $\cos ^{2}{\widehat {CAD}}+\sin ^{2}{\widehat {CAD}}=1$.

 

Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus

Sachant que $\cos(x)=0{,}5$, calculer une valeur exacte de $\sin(x)$.

Solution

$\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)=1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}$

donc : $\sin(x)={\sqrt {\frac {3}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ou $\sin(x)=-{\sqrt {\frac {3}{4}}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

N.B. : attention, n'oubliez pas la racine négative ; c’est une erreur courante.

 

Propriétés des arcs associés

On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.

${\begin{aligned}\cos(-a)&=\cos(a)\\\sin(-a)&=-\sin(a)\\\tan(-a)&=-\tan(a)\end{aligned}}$		${\begin{aligned}\cos(\pi -a)&=-\cos(a)\\\sin(\pi -a)&=\sin(a)\\\tan(\pi -a)&=-\tan(a)\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\sin(a)\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\cos(a)\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&={\frac {1}{\tan a}}=\cot(a)\end{aligned}}$		${\begin{aligned}\cos(\pi +a)&=-\cos(a)\\\sin(\pi +a)&=-\sin(a)\\\tan(\pi +a)&=\tan(a)\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-\sin(a)\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=\cos(a)\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-{\frac {1}{\tan a}}=-\cot(a)\end{aligned}}$

Formules de trigonométrie

Nous démontrerons au chapitre 11 les formulaires ci-dessous.

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Formulaire 1 : addition

${\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\\sin(a+b)&=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\\\tan(a+b)&={\frac {\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}}\end{aligned}}$

(On en déduit des formules analogues en remplaçant $b$ par $-b$, grâce aux formules de la première section ci-dessus.)

Formulaire 2 : duplication

$${\begin{aligned}\cos(2a)&=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)\\&=2\cos ^{2}(a)-1\\&=1-2\sin ^{2}(a)\\&={\frac {1-\tan ^{2}(a)}{1+\tan ^{2}(a)}}\\\sin(2a)&=2\sin(a)\cos(a)\\\tan(2a)&={\frac {2\tan(a)}{1-\tan ^{2}(a)}}\end{aligned}}$$

Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)

${\begin{aligned}\cos ^{2}(a)&={\frac {1+\cos(2a)}{2}}\\\sin ^{2}(a)&={\frac {1-\cos(2a)}{2}}\\\tan ^{2}(a)&={\frac {1-\cos(2a)}{1+\cos(2a)}}\\\end{aligned}}$

Formulaire 4 : produit-somme

${\begin{aligned}\cos(a)\cos(b)&={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}\\\sin(a)\sin(b)&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\\sin(a)\cos(b)&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\\cos(a)\sin(b)&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\\\tan(a)\tan(b)&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\cos(a-b)+\cos(a+b)}}\\\end{aligned}}$

Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)

${\begin{aligned}\cos(a)+\cos(b)&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\\cos(a)-\cos(b)&=-2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\\sin(a)+\sin(b)&=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\\sin(a)-\sin(b)&=2\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\\\tan(a)+\tan(b)&={\frac {\sin(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}}\\\tan(a)-\tan(b)&={\frac {\sin(a-b)}{\cos(a)\cos(b)}}\\\end{aligned}}$

(On en déduit des formules analogues en remplaçant $b$ par $-b$, grâce aux formules de la première section ci-dessus.)