Trigonométrie/Relations trigonométriques
Les relations trigonométriques sont les égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.
La tangente comme quotientModifier
Soit la variable dont la mesure est différente de et de .
La fonction tangente est définie comme le quotient de la fonction sinus par la fonction cosinus : .
Concernant la parité : , puisque et . La fonction tangente est donc impaire.
On a vu que
Ainsi
donc pour tout angle différent de et de (car ), on a : .
Formule liant les fonctions cosinus et sinus (Formule fondamentale)Modifier
On a pour tout réel : .
On utilise le théorème de Pythagore, qui stipule que
- « Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
Sur le cercle trigonométrique ci-contre, cela se traduit par :
- .
Or ici :
- ;
- ;
- .
Ainsi, .
Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinusModifier
Sachant que , calculer une valeur exacte de .
donc : ou .
N.B. : attention, n'oubliez pas la racine négative ; c’est une erreur courante.
Propriétés des arcs associésModifier
On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.
Formules de trigonométrieModifier
Nous démontrerons au chapitre 11 les formulaires ci-dessous.
Soient et deux réels.
Formulaire 1 : additionModifier
(On en déduit des formules analogues en remplaçant par , grâce aux formules de la première section ci-dessus.)
Formulaire 2 : duplicationModifier
Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)Modifier
Formulaire 4 : produit-sommeModifier
Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)Modifier
(On en déduit des formules analogues en remplaçant par , grâce aux formules de la première section ci-dessus.)