Fonctions trigonométriques/Définitions

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Ce premier chapitre a pour objectif de définir les trois fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente.

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Préambule

Dans l'Antiquité, la trigonométrie servait principalement aux arpenteurs et aux astronomes qui ne voyaient en elle que des techniques de calcul. Nous citerons, par exemple, Aristarque, Hipparque et Ptolémée. La mesure des angles en radians et la notion d'angle orienté est apparue bien après avec Euler. Les fonctions trigonométriques, aussi appelées fonctions circulaires, sont donc apparues tardivement. Ces fonctions servent principalement en physique dans l'étude des phénomènes vibratoires que nous étudierons dans cette leçon sous forme d'exercices.

Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques élémentaires. Nous voulons dire par là que, de même qu'il est possible de réaliser des approximations de fonctions quelconques par des fonctions polynômes de degrés de plus en plus élevé, il est possible de réaliser l'approximation de fonction périodique quelconques par des combinaisons de fonctions trigonométriques (Série de Fourier).

Définition des fonctions trigonométriques cosinus et sinus

Soit $M$ un point sur le cercle trigonométrique. Nous savons que le cosinus et le sinus de l'angle ${\widehat {AOM}}$ sont donnés respectivement par l'abscisse et l'ordonnée du point $M$. Ce fait nous permet de généraliser le cosinus et le sinus défini dans le triangle rectangle puisque nous pouvons envisager le cosinus et le sinus d'angles plus grand qu'un angle droit et nous permet aussi de définir le cosinus et le sinus d'angles négatifs.

Si la mesure de l'angle est donnée en radians, celle-ci nous donne aussi l'abscisse curviligne du point $M$ sur le cercle trigonométrique en prenant le point $A$ pour origine. Autrement dit, sur notre figure, la mesure de l'angle ${\widehat {AOM}}$ est aussi donné par la mesure de l'arc ${\overset {\frown }{AM}}$, cette mesure étant comptée :

• positivement si en partant de $A$, on tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour atteindre le point $M$ (sens trigonométrique) ;
• négativement si en partant de $A$, on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre pour atteindre le point $M$ (sens anti-trigonométrique).

Ces considérations nous montrent qu'à tout nombre $x$ de $\mathbb {R}$ est associé un point $M$ sur le cercle trigonométrique. Le point $M$ ainsi défini ayant une abscisse et une ordonnée, nous voyons qu'à tout nombre $x$ sont associées de façon unique l'abscisse et l'ordonnée du point $M$.

Nous poserons donc les deux définitions suivantes :

Définition des fonctions cosinus et sinus

Nous appellerons :

• fonction cosinus la fonction qui, à tout nombre $x$ de $\mathbb {R}$, associe l'abscisse de $M$,
• fonction sinus la fonction qui, à tout nombre $x$ de $\mathbb {R}$, associe l'ordonnée de $M$,

$M$ étant le point du cercle trigonométrique tel que la mesure de l'angle ${\widehat {AOM}}$ en radians soit $x$.

À tout nombre réel $x$, il est toujours possible d'associer un point $M$ sur le cercle trigonométrique même si, pour cela, on doit parcourir un grand nombre de fois le cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles d'une montre si $x$ est positif, dans le sens des aiguilles d'une montre si $x$ est négatif. Ceci nous permet d'affirmer que les fonctions cosinus et sinus sont définies pour toute valeur $x$ de $\mathbb {R}$.

Nous retiendrons que les fonctions cosinus et sinus sont définies sur $\mathbb {R}$.

Définition de la fonction trigonométrique tangente

On pourrait définir la fonction tangente en se servant du cercle trigonométrique (voir paragraphe suivant), mais il est plus simple d'utiliser la formule trigonométrique :

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

bien connue dans le triangle rectangle en la généralisant.

Nous poserons donc :

Définition de la fonction tangente

La fonction tangente est définie par :

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$.

Mais le domaine de définition de cette fonction n'est pas $\mathbb {R}$ car le cosinus placé en dénominateur peut s'annuler pour $x={\frac {\pi }{2}}+k\pi$ avec $k$ dans $\mathbb {Z}$.

Nous retiendrons que le domaine de définition de la fonction tangente est :

$D=\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$.

Définition géométrique de la fonction trigonométrique tangente

Nous donnons, dans ce paragraphe, une autre définition de la fonction trigonométrique tangente, similaire aux définitions données pour les fonctions cosinus et sinus. Cette définition est équivalente à la définition donnée au paragraphe précédent et peut être utile lorsque l'on raisonne dans le cercle trigonométrique. Voir aussi : Trigonométrie/Tangente dans un triangle rectangle.

Reprenons notre cercle trigonométrique avec le point $M$ placé comme précédemment et considérons cette fois l'intersection de la droite $OM$ avec la tangente en $A$ au cercle trigonométrique. Appelons $N$ le point d'intersection. Nous remarquons alors que :

$\tan x={\frac {AN}{OA}}$.

Mais comme $OA=1$, il nous reste :

$\tan x=AN$.

Si $N$ avait été sous l'axe des abscisses, nous aurions eu :

$\tan x=-AN$.

Nous voyons donc que l'on peut définir $\tan x$ comme étant l'ordonnée du point $N$. $N$ étant le point obtenu par le procédé de construction décrit précédemment.

Remarque : Par symétrie par rapport à la bissectrice de ${\widehat {AOM}}$, $\tan x$ peut aussi être défini comme l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses avec la tangente en $M$ au cercle trigonométrique. Cette remarque sera utilisée au chapitre suivant.