Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires

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Ce chapitre est destiné à étudier des propriétés qui nous seront utiles pour calculer des limites faisant intervenir des fonctions trigonométriques. La propriété 1 de ce chapitre est souvent admise dans des cours similaires. Nous avons toutefois choisi de la déduire de lemmes qui nous semblent plus intuitifs à admettre que la propriété 1.

Propriétés préliminaires
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Chapitre no 2
Leçon : Fonctions trigonométriques
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Étude de la fonction sinus

Exercices :

Calcul de limites
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Considérations sur les arcs de cercle

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Nous avons tout d'abord le lemme suivant :

Début d'un lemme
Fin du lemme

Nous admettrons ce lemme très intuitif, qui découle du fait bien connu que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.


Nous retiendrons ensuite le lemme suivant :

Début d'un lemme
Fin du lemme

Nous admettrons aussi ce lemme, difficile à démontrer bien qu'assez intuitif.

Continuité de la fonction sinus

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Nous montrerons la continuité de la fonction sinus grâce au lemme suivant :

Début d'un lemme
Fin du lemme

Montrons que la fonction sinus est continue en une valeur   quelconque de son domaine de définition qui est  .

De l'une des formules de Simpson :

 ,

on déduit, grâce au lemme 3 :

 ,

d'où il découle, d'après le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

 ,

autrement dit :

 ,

ce qui montre que la fonction sinus est bien continue en  .

Continuité de la fonction cosinus

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Nous invitons le lecteur, à titre d'entraînement, à faire une démonstration similaire à celle de la fonction sinus en utilisant une autre formule de Simpson :

 .

Quant à nous, nous nous contenterons de remarquer que :

 ,

qui nous montre que la continuité de la fonction cosinus découle directement, par composition de fonctions continues, de la continuité de la fonction sinus.

Continuité de la fonction tangente

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Comme :

 ,

la fonction tangente est continue comme quotient de deux fonctions continues.

Propriétés sur les limites

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La propriété 1 ci-dessous est assez fondamentale et permet d'établir un grand nombre de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques. Nous verrons en particulier que grâce à celle-ci, nous pourrons calculer la dérivée des fonctions sinus et cosinus.

Pour démontrer cette propriété, nous utiliserons le lemme 3 et le lemme suivant :

Début d'un lemme
Fin du lemme

Les lemmes 3 et 4 nous donnent deux inégalités qui peuvent se réunir en un encadrement :

 .

La fonction cosinus étant continue en  , nous avons :

 .

Par conséquent, en faisant tendre   vers   dans les trois membres de  , nous obtenons en utilisant le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

 .


La propriété suivante se déduit de la propriété 1 mais est aussi importante pour faciliter l'établissement de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques.