Début de la boite de navigation du chapitre
Nous noterons Nn le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ne laissant aucun point fixe, appelées aussi dérangements.
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Formule d'inversion de Pascal : Application au dénombrement des dérangements
Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des dérangements », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Nous appellerons dérangement, une permutation ne laissant aucun point fixe.
Le nombre total de permutations d’un ensemble à n élément étant n!, nous procéderons comme dans le chapitre précédent en décomposant celui-ci en la somme des nombres des applications dérangeant successivement k éléments pour k allant de 0 à n.
Pour déranger k éléments dans un ensemble à n éléments, il faut choisir les k éléments devant être dérangés, soit possibilités. Puis effectivement déranger ces k éléments, soit Nk possibilités. Il y a donc × Nk façons de déranger k éléments dans un ensemble de n éléments.
Nous pouvons donc écrire :
en posant un = n! et vn = Nn dans la formule d’inversion de Pascal :
nous obtenons :
Le nombre de dérangements d’un ensemble à n éléments est donc :
En remarquant que :
on peut écrire :
Et en faisant le changement d’indice k ↦ n - k, on obtient :
Nous retiendrons :
Début d’un théorème
Théorème
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ne laissant aucun point fixe, appelées aussi dérangements, est donné par :
Fin du théorème
Voir aussi : Formule du crible/Dénombrement des dérangements.