En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Formule du crible : Dénombrement des dérangements Formule du crible/Dénombrement des dérangements », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Quant à la propriété d'approximation de , elle fait l'objet d'un exercice corrigé.
Fin de la démonstration
Pour un calcul de probabilité, Nn sera divisé par le nombre de permutations de E, à savoir n! ; il restera :
.
Nous remarquons que
.
La convergence est très rapide puisque nous avons des factorielles en dénominateur. À tel point que pour un ensemble d'au moins six éléments, la probabilité de tomber sur un dérangement parmi ces permutations pourra être prise égale à e–1 avec une erreur inférieure au millième. (Avec un ensemble à 4 éléments, l'erreur est inférieure au centième.)
Probabilité qu'une permutation laisse r points fixes
La probabilité de laisser exactement r éléments fixes lorsqu'on effectue au hasard une permutation d'un ensemble à n éléments est :
.
'Démonstration'
Soient E un ensemble à n éléments, et X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre r d'éléments fixes lors d'une permutation hasardeuse de E. Calculons p(X = r).
Pour cela, nous choisissons les r éléments devant rester fixes, soit possibilités. Nous dérangeons les n – r éléments restants, soit Nn–r possibilités. Pour avoir la probabilité, il nous faut ensuite diviser par le nombre total de permutations de E, c'est-à-dire n!. On a donc :
Remarque
Pour n suffisamment grand, cette probabilité pourra être approchée par