Début de la boite de navigation du chapitre
Redémontrons par récurrence forte sur
le théorème des deux chapitres précédents :
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Formule d'inversion de Pascal : Démonstration par récurrence
Formule d'inversion de Pascal/Démonstration par récurrence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Début d’un théorème
Formule d'inversion de Pascal
Soient
où
est un groupe abélien (par exemple
), nous avons :
.
Fin du théorème
Comme au chapitre 1, il suffit de démontrer le sens direct car la réciproque s'en déduit.
Début d'une démonstration
Démonstration
L'implication est vraie pour n = 0 car elle se ramène alors à :
.
Supposons l'implication vraie jusqu’à n et démontrons qu’elle est vraie jusqu’à n + 1, c’est-à-dire montrons que :
.
Supposons :
.
Nous avons alors, par hypothèse de récurrence :
![{\displaystyle \forall k\leq n\quad v_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}u_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fe3363fef2c58fe69ae03279fb077b4a515908)
et
.
Or pour
,
(Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1) donc
.
La formule du binôme permet d’écrire :
![{\displaystyle \sum _{j=0}^{n+1-i}(-1)^{j}{\binom {n+1-i}{j}}=(1-1)^{n+1-i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273abccdac1599a9d1e353bcd962a054a56ff283)
donc :
.
On a alors :
.
Fin de la démonstration