En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Introduction aux mathématiques : Entiers naturels Introduction aux mathématiques/Entiers naturels », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On note , puis les neufs premiers itérés de . Pour ne pas à avoir recours à une infinité de symboles, on a trouvé un moyen plus malin, que vous connaissez depuis l'école élémentaire. On a bien sûr reconnu en notre ensemble usuel pour compter ; ceci fera l’objet du prochain chapitre, mais avant cela il nous faut donner un sens à l’addition et à la multiplication.
Le théorème ci-dessus permet de définir l'addition et la multiplication dans par :
Remarques
.
L'entier est également noté .
Proposition
*L'addition et la multiplication sur sont associatives et commutatives.
est neutre pour l'addition et est neutre pour la multiplication.
La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Tout élément est régulier pour l'addition, c'est-à-dire : .
Soit . Il existe un unique couple , tel que et .
L'entier (resp. ) est appelé le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne de par .
Fin du théorème
'Démonstration'
Deux entiers et vérifient ces deux conditions si et seulement si , et .
L'entier est donc uniquement déterminé en fonction de , qui doit vérifier , c'est-à-dire . Un tel entier (donc un tel couple ) est évidemment unique, et existe car est non vide (il contient 0) et majoré (par ).
Remarque
On a alors : . En particulier, . On résume ce fait en disant que l'ordre sur est archimédien.
Définition et proposition : divisibilité, nombres premiers
On définit sur une relation binaire, la divisibilité par . Dans ce cas, on dit que divise ou que est un multiple de . C'est une relation d'ordre. L'élément minimal est et maximal est . On appelle nombre premier tout entier naturel admettant exactement deux diviseurs : et lui-même.