Introduction aux mathématiques/Entiers naturels

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Entiers naturels
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Chapitre no 5
Leçon : Introduction aux mathématiques
Chap. préc. :Relations binaires
Chap. suiv. :Rudiments de combinatoire
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Introduction aux mathématiques/Entiers naturels
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L'essentiel de ce chapitre est détaillé dans les leçons « Axiomes de Peano » et « Arithmétique ».

Axiomatique de PeanoModifier


Suite définie par une relation de récurrenceModifier

Grâce à l'axiome 5, on démontre :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Addition et multiplication dans Modifier

On note  , puis   les neufs premiers itérés de  . Pour ne pas à avoir recours à une infinité de symboles, on a trouvé un moyen plus malin, que vous connaissez depuis l'école élémentaire. On a bien sûr reconnu en   notre ensemble usuel pour compter ; ceci fera l’objet du prochain chapitre, mais avant cela il nous faut donner un sens à l’addition et à la multiplication.

Le théorème ci-dessus permet de définir l'addition et la multiplication dans   par :

 
Remarques
  •  .
  • L'entier   est également noté  .


Ordre sur Modifier

On définit ≤ à partir de l'addition :

 

(l'entier   est alors unique et noté  ).

Alors :

  • ≤ est une relation d'ordre sur   ;
  • toute partie non vide de   admet un plus petit élément (en particulier, l'ordre est total) ;
  •   lui-même a 0 pour plus petit élément ;
  • le successeur d'un entier est son plus petit majorant strict.

De plus (exercice), ≤ est compatible avec l'addition et la multiplication, au sens où

 

Division euclidienneModifier

On note  .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque
On a alors :  . En particulier,  . On résume ce fait en disant que l'ordre sur   est archimédien.


RécurrencesModifier

On déduit immédiatement du cinquième axiome de Peano (voir supra), et de l'expression de   sous la forme   :

Début d’un théorème
Fin du théorème


En appliquant ce théorème à  , on obtient :


En appliquant le théorème à  , que l'on écrit moins formellement  , on obtient un autre corollaire :


Par contraposition, on déduit du corollaire précédent ou, directement, du cinquième axiome de Peano :