Démonstration par techniques sommatoires
On montre d'abord le lemme :
.
Démonstration
Pour , (Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1) donc
Remarque : une autre façon de démontrer ce lemme est de remarquer que la somme à calculer est le coefficient de dans le développement en série de .
Démontrons maintenant le sens direct () de l'équivalence. Supposons donc que :
.
Alors :
Réciproquement (), supposons que :
c'est-à-dire, en posant (pour tout ) et :
.
Alors, d'après le sens direct :
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