Théorie des groupes/Groupes, premières notions

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Groupes, premières notions
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Chapitre no 2
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Lois de composition internes, monoïdes
Chap. suiv. :Classes modulo un sous-groupe

Exercices :

Groupes, premières notions
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Théorie des groupes/Groupes, premières notions
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Groupe : définitions et exemples

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Un groupe   est donc un ensemble muni d'une loi de composition interne   possédant les propriétés suivantes :

  • La loi de composition est associative :   ;
  • Il existe un (et un seul) élément neutre, noté e vérifiant   ;
  • Tout élément a un symétrique (dit aussi inverse en notation multiplicative et opposé en notation additive),  

Remarque : le symétrique de x est noté x-1 en notation multiplicative et -x en notation additive.

Comme on l'a vu dans le chapitre sur les monoïdes,

  • l'élément neutre est unique ;
  • un élément donné n'a qu'un symétrique ;
  • le symétrique du symétrique d'un élément x est x lui-même.

On vérifie facilement que si un magma M est isomorphe comme magma à un groupe, M est un groupe.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Nous avons vu dans le chapitre sur les monoïdes que tout élément inversible d'un monoïde est simplifiable.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Supposons d’abord xy = 1 et prouvons que y est l'inverse de x. Il suffit de multiplier à gauche les deux membres de l'égalité xy = 1 par x-1 et d'appliquer l'associativité. Si maintenant y x = 1, on peut multiplier à droite par x-1, ou encore dire que d’après le résultat précédent, x est l'inverse de y, ce qui entraîne que y est l'inverse de x.

On supposera dans ce cours que le lecteur connaît la notion de cardinal infini et ses propriétés les plus classiques. On notera   ou encore Card(X) le cardinal d'un ensemble X.


Un groupe d'ordre fini (resp. infini) est encore appelé un groupe fini (resp. infini) etc.

Exemples.

1)   : groupe trivial (la loi est définie par  ).

2) Si A, B, C sont des ensembles, si   est une application de A dans B et   une application de B dans C, on notera dans ce cours   l'application   de A dans C. (On compose donc de droite à gauche. Certains auteurs composent de gauche à droite, c'est-à-dire qu'ils écrivent   là où nous écrivons  .) Soit X un ensemble. Rappelons qu'en théorie des ensembles, on appelle permutation de X une bijection de X sur lui-même. L'application de X dans lui-même qui applique chaque élément sur lui-même est évidemment une permutation de X, que nous noterons idX. Soient f, g et h des permutations de X. On montre en théorie des ensembles que

  •  
  •  
  •  ,

f-1 désigne la permutation réciproque de f, définie en théorie des ensembles. Cela montre que l’ensemble des permutations de X, muni de la loi de composition  , est un groupe, qu'on appelle groupe symétrique de X, et qu'on note   ou  .

3) L'ensemble des entiers relatifs (ou entiers rationnels), muni de l'addition des entiers est un autre exemple de groupe. (Cet ensemble est connu dès le niveau des lycées et collèges, mais nous le construirons dans la suite du présent chapitre.) On sait que la somme de deux entiers ne dépend pas de l’ordre dans lequel l'addition est effectuée, autrement dit le composé de deux éléments du groupe en question ne dépend pas de l'ordre dans lequel on leur applique la loi de groupe. On dit qu'un tel groupe est commutatif, ou encore abélien :


Dire qu'un groupe est abélien revient à dire qu'il est commutatif comme monoïde.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Si x et y sont deux éléments distincts de X, désignons par (x, y) la permutation de X qui applique x sur y, y sur x, et laisse fixes tous les autres éléments de X. Par hypothèse, nous pouvons choisir trois éléments distincts a, b et c de X. Les permutations

  et  

ne sont pas égales, car la première applique b sur c et la seconde l'applique sur a. Ceci prouve bien que le groupe SX n’est pas commutatif.

Remarque : Quand on parle d'un groupe, il arrive (souvent) que la loi soit sous-entendue, mais s'il y a un risque de confusion il faut la mettre explicitement.
Par convention tacite, la loi d'un groupe est généralement notée de la même façon que la multiplication, d'élément neutre 1. Les groupes abéliens sont notés comme l'addition, d'élément neutre 0 et d'inverse -x (on dit « l'opposé »). Attention cependant, aucune convention explicite n'existe, les auteurs sont donc libres de noter les lois comme ils veulent ; et souvent les notations dépendent de la nature des objets constituant le groupe.

Extension de la loi aux parties

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Si   et   sont des parties d'un groupe   noté multiplicativement, nous désignerons par   l’ensemble des éléments de   de la forme   avec   et  . Nous désignerons par   l’ensemble des éléments de G de la forme   avec  .
Il est clair que, pour toutes parties   et   de  , nous avons :

 
 
 

Si X est le singleton  , on écrit   au lieu de   et, de même,   au lieu de  .

En notation additive, on écrit   au lieu de  , et   au lieu de  .

Groupe additif des entiers relatifs et des nombres rationnels

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Wikipédia possède un article à propos de « Construction des entiers relatifs ».

(Cette section peut être omise en première lecture.)

L'ensemble   des nombres naturels, muni de l'addition, est un monoïde commutatif où tout élément est simplifiable. Le seul élément de ce monoïde qui admette un opposé est 0[2]. Nous allons montrer que   peut être « plongé » dans un groupe. De façon générale, si M est un monoïde commutatif, on peut « plonger » M dans un monoïde commutatif plus grand, où tout élément est de la forme ms-1, -que l’on notera (m / s) en notation multiplicative et (m - s) en notation additive,- m appartenant à M et s étant un élément simplifiable de M. On procède comme suit. Soit S l’ensemble des éléments simplifiables de M. Dans le produit cartésien  , on considère la relation d'équivalence entre   et   définie par la condition  . On note m/s (en contexte multiplicatif) la classe d'équivalence de (m,s). On montre que, pour   et  , la classe d'équivalence de (mn, st) ne dépend que des classes d'équivalence de (m,s) et (n,t), ce qui permet de munir l’ensemble quotient d'une loi de composition   qui peut être caractérisée par  . On munit ainsi l’ensemble quotient d'une structure de monoïde. Ce monoïde est noté  . Le monoïde M est isomorphe au sous-monoïde de   formé par les éléments de la forme (m/1), m parcourant M. On identifie M à ce sous-monoïde de   et on a donc bien «plongé» M dans un monoïde tel qu'annoncé. On vérifie en effet (i) que tout élément simplifiable s de M est inversible dans  , (ii) que s-1 est identique à la classe associée au couple (1,s), et (iii) que toute classe m/s associée au couple (m,s) est égale au produit ms-1 dans  .

Si tout élément de M est simplifiable, S est égal à M tout entier et   est un groupe. On étend, dans ce cas, la notation a/b à tous les éléments a et b du groupe  , en convenant que   (  en contexte additif).
Dans le cas particulier où M est le monoïde additif  , on plonge ainsi   dans un groupe commutatif noté ℤ, +, qu'on appelle groupe des entiers rationnels, ou des entiers relatifs.

Soient a, b deux nombres naturels, et soit n le nombre naturel constituant l'écart entre a et b. Ainsi a+n=b ou bien a=b+n, selon que   ou bien  . L'élément (a-b) de ℤ peut donc s'écrire d'une des deux façons (0-n), (n-0) avec n naturel (selon que   ou  ). On en tire que tout élément de ℤ est égal à un élément de la forme -n ou n, avec n naturel (si on identifie comme ci-dessus   à un sous-monoïde de ℤ). Autrement dit,  . On peut aussi montrer que 0 est le seul élément de ℤ qui appartienne à la fois à   et à  [3].

On a dans ℤ une relation d'ordre total

 

qui coïncide dans   avec la relation d'ordre usuelle dans  . Cette relation d'ordre dans ℤ est dite relation d'ordre usuelle dans ℤ. Quand nous parlerons d'une relation d'ordre dans ℤ sans la préciser, il s'agira de celle-là.

Si r est un entier relatif, il résulte d'une remarque ci-dessus que r ou -r est naturel et qu’ils ne le sont tous deux que si r = -r = 0. On appelle valeur absolue de r et on note   l'unique entier naturel qui appartient à l’ensemble {r, -r}. C'est aussi le plus grand des deux entiers rationnels r et -r.

Remarque : la méthode de plongement ci-dessus sert aussi à définir le corps des fractions d'un anneau intègre. L'anneau   est un anneau intègre et son corps des fractions est le corps   des nombres rationnels. Ce corps est un corps ordonné.

Sous-groupes

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D'après la condition de stabilité, la loi   de G induit une loi de composition interne dans H, qui, pour tous éléments h1, h2 de H, applique (h1, h2) sur l'élément h1   h2 de H. Cette loi induite est évidemment associative. Puisque l'élément neutre de G appartient à H, il est évidemment élément neutre pour la loi induite. Enfin, puisque pour tout élément h de H, l'inverse de h pour * appartient à H, il est clair que cet inverse est aussi l'inverse de h pour la loi induite. Tout ceci montre que la loi induite fait de H un groupe.

Pour exprimer que H est sous-groupe de G, on écrit souvent[4]   plutôt que  . De même, pour exprimer que H est un sous-groupe propre de G (c'est-à-dire distinct de G), on écrit souvent[4]  .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Exemples :

  • Dans tout groupe, l’ensemble constitué de l'élément neutre est un sous-groupe.
  • Dans  , toute partie de la forme   avec   est un sous-groupe. Nous verrons dans un autre chapitre que tout sous-groupe de   est de cette forme.
  • Dans le groupe   des bijections de   dans lui-même, l'ensemble des applications de la forme   avec   et   est un sous-groupe. C'est le groupe des similitudes directes du plan complexe.


Début d’un théorème
Fin du théorème
  Une réunion de sous-groupes n’est pas toujours un sous-groupe. (Par exemple, dans  ,   est un sous-groupe,   est un sous-groupe mais la réunion   n’est pas un groupe car  .) Voir dans les exercices à quelle condition la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe.



Si G est un groupe fini, tout sous-groupe propre de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal. (Si H est un sous-groupe propre de G, il existe au moins un sous-groupe propre de G qui contient H, à savoir H lui-même. L'ensemble des ordres des sous-groupes propres de G qui contiennent H est donc non vide. D'autre part, puisque G est fini, cet ensemble est fini. Comme tout ensemble fini non vide de nombres naturels admet un plus grand élément, il existe donc un sous-groupe propre de G contenant H dont l’ordre est le plus grand possible. Il est clair qu'un tel sous-groupe propre de G est un sous-groupe maximal de G. On pourrait dire aussi que l’ensemble des sous-groupes propres de G contenant H, ordonné par inclusion, est un ensemble ordonné fini non vide et admet donc un élément maximal.) En particulier, tout groupe fini G non réduit à l'élément neutre contient au moins un sous-groupe maximal. (En effet, d’après ce qui précède, le sous-groupe propre 1 de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G.)

Homomorphismes

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Remarque
Un homomorphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé endomorphisme (de groupe) de G.

Rappelons que selon les conventions sur la préséance des évaluations, f(x)–1 désigne ( f(x) )–1. Cela étant, nous avons la

Exemples d'homomorphismes.

1) Si G et H sont des groupes, l’application de G dans H qui envoie tout élément de G sur l'élément neutre de H est un homomorphisme de G dans H, qu'on appelle l'homomorphisme trivial de G dans H.
2) Nous avons vu que, dans Z, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. On en tire que si n est un élément de Z, l’application   de Z dans lui-même (multiplication par n) est un endomorphisme de Z.

Pour un morphisme de groupes de G dans H, l'image de tout sous-groupe de G et la préimage de tout sous-groupe de H, sont des sous-groupes de H et de G respectivement (c'est une conséquence immédiate de la propriété correspondante pour les magmas et de la proposition précédente). En particulier :


Exemple. Le morphisme   a pour noyau le sous-groupe   des réels de la forme   avec   entier, et pour image le sous-groupe des nombres complexes de module  .



Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Remarque. On notera parfois dans ce cours que certaines notions de la théorie des groupes sont des cas particuliers de notions de la théorie des catégories. Ces références à la théorie des catégories resteront toutefois marginales et pourront être ignorées par le lecteur non intéressé. Il existe une (et une seule) catégorie dont les objets sont les groupes, dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes et où la composition des morphismes est la composition des homomorphismes de groupes en tant qu'applications ; cette catégorie est appelée la catégorie des groupes. De même, il existe une (et une seule) catégorie dont les objets sont les groupes abéliens, dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes entre groupes abéliens et où la composition des morphismes est la composition des homomorphismes de groupes abéliens en tant qu'applications ; cette catégorie est appelée la catégorie des groupes abéliens. On montre facilement que dans chacune de ces deux catégories, les monomorphismes sont exactement les homomorphismes injectifs (voir les exercices sur le présent chapitre). Il est également facile (voir un exercice sur le chapitre « Sous-groupe distingué et groupe quotient » dans la suite du cours) de prouver que dans la catégorie des groupes abéliens, les épimorphismes sont exactement les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. Un peu moins facilement, on prouve que c'est également vrai dans la catégorie des groupes (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur). Tout cela explique que certains auteurs[5] appellent épimorphisme (de groupes) un homomorphisme surjectif de groupes et monomorphisme (de groupes) un homomorphisme injectif de groupes, sans allusion à la définition générale des épimorphismes et des monomorphismes. On imitera ces auteurs dans le présent cours et le lecteur peut donc considérer que les termes épimorphisme et monomorphisme sont respectivement des synonymes d'homomorphisme surjectif de groupes et d'homomorphisme injectif de groupes.

Isomorphismes

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  • Si un homomorphisme   est bijectif, on parle d'isomorphisme de groupes. (On montre qu'alors   est également un morphisme de groupes).
  • Un isomorphisme d'un groupe G sur lui-même est appelé un automorphisme de G.

Soient G, H et K trois groupes. Il existe évidemment un isomorphisme de G sur lui-même, car la transformation identique est un tel isomorphisme. S'il existe un isomorphisme de G sur H, il existe un isomorphisme de H sur G (l'inverse de n’importe quel isomorphisme de G sur H). Enfin, s'il existe un isomorphisme f de G sur H et un isomorphisme g de H sur K, alors il existe un isomorphisme de G sur K, car   est un tel isomorphisme. Ceci montre que la relation « il existe un isomorphisme de G sur H » est une relation d'équivalence entre groupes.


Un groupe isomorphe à un groupe G est parfois appelé une copie de G.

D'après ce qui précède, la relation « être des groupes isomorphes » est une relation d'équivalence. On peut considérer que deux groupes isomorphes ont la même structure de groupe, qu'on passe de l'un à l'autre par un changement de notation.

Nous écrirons   ou encore  pour exprimer que deux groupes G et H sont isomorphes.

On vérifie facilement qu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes.

Exemples d'isomorphismes de groupes.

1) Si G est un groupe, la permutation identique de G est évidemment un automorphisme de G.
2) L'application   de Z dans lui-même est un automorphisme du groupe (additif) Z. Plus généralement, si G est un groupe commutatif, l’application   de G dans lui-même est un automorphisme de G.
3) Automorphismes intérieurs. Soient G un groupe et g un élément de G. L'application   est un automorphisme de G. (Par exemple, pour montrer que cette application est une permutation, on peut montrer qu'elle admet l’application   pour réciproque.) Un tel automorphisme est appelé automorphisme intérieur de G.
4) Si X et Y sont des ensembles équipotents, si f est une bijection de X sur Y, l’application   du groupe symétrique SX dans le groupe symétrique SY est un isomorphisme de SX sur SY. (Pour montrer que c’est une bijection, noter qu'on obtient sa réciproque en remplaçant   par  .) Dans le cas particulier où X et Y sont égaux, f est un élément du groupe SX et l'isomorphisme en question est un automorphisme intérieur.
 
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Wikipédia possède un article à propos de « Transport de structure (en anglais) ».
5) Transport de structure. Soient   un groupe et f une bijection de l'ensemble G sur un ensemble X. La loi de composition   dans X définie par   fait de X un groupe. C'est la seule loi de groupe (et même de magma) sur X pour laquelle la bijection f est un isomorphisme de G sur X. (Vérification facile.) On dit que   est la structure de groupe transportée de   sur X par f. C'est un cas particulier du transport de structure d'un magma.

On verra plus loin un exemple de trois groupes infinis abéliens dénombrables et deux à deux non isomorphes.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Puissances d'un élément

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Soient G un groupe noté multiplicativement, x un élément de G et n un nombre naturel. On appelle n-ième puissance de x et on note   le composé d'une séquence de n éléments égaux à x. (Ce composé a été défini au chapitre Lois de composition internes, monoïdes.)
Si le groupe G est noté additivement, on écrit nx plutôt que  .
En particulier, en notation multiplicative,  , et en notation additive, 0x = 0 (le premier zéro étant celui de Z et le second celui de G).
On étend la définition de   au cas où n est un entier relatif négatif en posant, pour r naturel > 0,

 .

En notation additive, ceci s'écrit

 .

On démontre (par d'assez fastidieuses récurrences et distinctions entre cas positif et négatif) que, pour tous entiers rationnels m et n,

 ,

ce qui montre que, pour un x donné, l’application   de ℤ dans G est un homomorphisme. On vérifie facilement (récurrence sur n) que c'est le seul homomorphisme de ℤ dans G qui applique 1 sur x.
En notation additive : (m+n)x = mx+nx et, pour un x donné, l’application   de ℤ dans G est un homomorphisme. Si le groupe G est commutatif, alors   (récurrence sur n ou application d'un résultat plus général sur les séquences si n est naturel; passage aux inverses si n est négatif). En notation additive, cela s'écrit  . Cela revient à dire que si G est commutatif, alors, pour un entier relatif n donné, l'application

 
(  en notation additive)

de G dans lui-même est un endomorphisme.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Récurrence sur n pour n positif; passage aux inverses pour n négatif.

Multiplication dans ℤ

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Dans le cas particulier où G est le groupe commutatif ℤ noté additivement, l’application   est une loi de composition interne dans ℤ, qu'on appelle multiplication dans ℤ et qu'on note multiplicativement (par juxtaposition ou au moyen du symbole  ). À l'aide des résultats mentionnés dans la section précédente, on peut démontrer les propriétés classiques de la multiplication dans ℤ : coïncidence dans   avec la multiplication dans   définie en théorie des ensembles, associativité, neutralité de 1, commutativité, distributivité à gauche et à droite par rapport à l'addition. En raison de ces propriétés, l'addition et la multiplication font de ℤ un anneau commutatif. (Pour la notion d'anneau, voir la leçon de Wikiversité sur ce sujet.)

Si r et s sont des entiers rationnels,  . Puisque le produit de deux nombres naturels non nuls est non nul, il en résulte que le produit de deux entiers rationnels non nuls est non nul, ce qui revient à dire que l'anneau ℤ est intègre.

On dit qu'un entier relatif a divise un entier relatif b s'il existe un entier relatif c tel que a c = b. Il est clair qu'un entier relatif a divise un entier relatif b dans ℤ si et seulement si   divise   dans  . En particulier, un nombre naturel a divise un nombre naturel b dans ℤ si et seulement si a divise b dans  .

Si G est un groupe, x un élément de G et m, n des entiers rationnels, nous avons

  en notation multiplicative

et

  en notation additive.

L'énoncé qui suit suppose connue la notion de module sur un anneau (voir la leçon de Wikiversité sur les modules).

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. On a considéré plus haut la loi de composition externe  . Des propriétés de cette loi que nous avons énoncées permettent de prouver qu'avec la loi interne +, elle munit G d'une structure de ℤ-module. Cela démontre l'assertion d'existence. Prouvons l'unicité, ce qui revient à prouver que si une loi externe   est telle que G, +,   soit un ℤ-module, alors la loi   est égale à la loi  . Soit x un élément de G. Nous avons (propriétés élémentaires des modules)   et, pour tout nombre naturel n,  , d'où on tire par récurrence sur n que   pour tout nombre naturel n. En passant aux opposés, nous trouvons  , autrement dit   (voir la définition de (-n) x). Toujours d'après les propriétés élémentaires des modules, le premier membre   est égal à  , d'où  . On a donc prouvé que pour tout entier rationnel r,  . Comme ceci est démontré pour tout élément x de G, la loi   est égale à la loi  , comme annoncé.

Par une construction analogue à celle du groupe des entiers relatifs à partir du monoïde des entiers naturels, on construit à partir de l'anneau (intègre)   le corps   des nombres rationnels, qui est le corps des fractions de l'anneau ℤ. Nous ne détaillerons pas cette construction et supposerons connu le corps des nombres rationnels, ainsi que ses propriétés de corps ordonné.

Parties génératrices

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Wikipédia possède un article à propos de « Partie génératrice d'un groupe ».

Si A est une partie d'un groupe G, l'intersection des sous-groupes de G qui contiennent A est un sous-groupe de G d’après ce qui précède. C'est évidemment le plus petit sous-groupe de G contenant A (« plus petit » correspondant à la relation d'ordre inclusion). On l'appelle le sous-groupe engendré par A et nous le noterons 〈A〉. On dit qu'une partie A d'un groupe G engendre G, ou encore est une partie génératrice de G, si 〈A〉 = G. Si   est une famille d'éléments d'un groupe G telle que l'ensemble   des valeurs de cette famille soit une partie génératrice de G, nous dirons parfois que   est une famille génératrice de G.

Si   est une famille de parties de G, le sous-groupe de G engendré par   est aussi appelé le sous-groupe de G engendré par les parties  , ou encore par les  . Nous noterons ce sous-groupe  . Nous dirons qu'un groupe est de type fini s'il admet une partie génératrice finie[6] et qu'il est de type infini dans le cas contraire, c'est-à-dire si toutes ses parties génératrices sont infinies.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Si   sont des parties de G, le sous-groupe de G engendré par   se désigne aussi comme le sous-groupe de G engendré par   et se note   plutôt que  .

Si la partie A de G se réduit à un élément a, on dit « sous-groupe engendré par a » au lieu de « sous-groupe engendré par {a} » et on écrit 〈a〉 au lieu de 〈{a}〉. De même, le sous-groupe engendré par la partie finie   est appelé « sous-groupe engendré par   » et noté  .


D'après la caractérisation ci-dessus des éléments de 〈A〉, il est clair que si a est un élément du groupe G, le groupe (monogène)   est l’ensemble des éléments de G de la forme  , n parcourant ℤ.


Début d’un théorème
Fin du théorème


D'après le théorème qui précède, toute image homomorphe d'un groupe monogène est monogène. En particulier, tout groupe isomorphe à un groupe monogène est monogène.


Exemple de trois groupes abéliens infinis dénombrables et deux à deux non isomorphes.

Les groupes  ,   et   sont tous les trois dénombrables, abéliens et sans torsion, mais sont deux à deux non isomorphes car le second est le seul à être divisible et même, le seul dans lequel tout élément est divisible par 2 (dans ℤ,   n'est pas de la forme   et dans  ,   n'est pas de la forme  ) et le premier est le seul des trois à être monogène et même, le seul de type fini (  est abélien libre mais de rang infini dénombrable, une base étant l'ensemble des nombres premiers).
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème


Opposé d'un groupe

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Soit G un groupe, noté multiplicativement (par juxtaposition). La loi de composition   sur l’ensemble sous-jacent de G définie par :

 

est une loi de groupe. Le groupe ainsi défini est appelé le groupe opposé de G, ou l'opposé de G[7]. L'élément neutre est le même dans les deux groupes et le symétrique d'un élément donné est également le même dans les deux groupes. L'opposé de l'opposé de G est G lui-même. Un groupe est identique à son opposé si et seulement s'il est commutatif. Dans tous les cas, G est isomorphe à son opposé par l’application  .
(La considération du groupe opposé nous permettra d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.)

Identité de Dedekind

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Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque. L'identité de Dedekind est le plus souvent utilisée quand U et V sont des sous-groupes de G, mais elle nous servira sous sa forme générale dans la démonstration des théorèmes de Gaschütz et de Schur-Zassenhaus.

Notes et références

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  1. Voir par exemple P. Tauvel, Algèbre, 2de éd., Dunod, 2005, p. 39, théor. 4.3.3.
  2. Pour le prouver dans le cadre de Bourbaki, où les entiers naturels sont définis comme des cardinaux, on peut dire que si un entier naturel a admet un opposé b, alors a + b = 0, d'où (N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Paris, 1998, ch. III, § 3, prop. 13, p. 29) a ≤ 0, d'où, puisque 0 est le plus petit des cardinaux (ib. § 3, p. 25), a = 0.
  3. Voir les détails dans N. Bourbaki, Algèbre, Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 2, num. 4 et 5, pp. 17-21.
  4. 4,0 et 4,1 Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 30.
  5. D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2de éd., 1996, p. 18.
  6. Cette définition correspond à J. Calais, Éléments de théorie des groupes, P.U.F., 1984, p. 35.
  7. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, no 1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.