Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines

Sous-espaces affines
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Exercices no1
Leçon : Géométrie affine
Chapitre du cours : Espaces affines

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Applications affines
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Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines
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Exercice 1-1

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On note   et  . Montrer que   est un sous-espace affine de  .

Exercice 1-2

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Soient   un ensemble non vide,   un élément de  , et   un scalaire. Montrer que l'ensemble   est un sous-espace affine de l'espace affine   des fonctions de   dans  .

Montrer que l'ensemble   est un sous-espace affine de  . En déterminer un point et la direction.

Exercice 1-3

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Soit   un espace affine réel de dimension  , muni d’un repère cartésien  . Soient :

  • les points   ;
  • les droites   ;
  • les plans  .
  1. Donner une équation cartésienne de  .
  2. Déterminer une représentation paramétrique de  .
  3. Donner une équation cartésienne du plan contenant  ,   et  .
  4. Déterminer l'intersection  .
  5. Donner une équation cartésienne du plan contenant   et parallèle à  .
  6. Déterminer  .
  7. Déterminer l'intersection de   avec la droite  .
  8. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par  , parallèle à   et coupant  .
  9. Donner une équation cartésienne du plan passant par   et contenant  .

Exercice 1-4

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  1. Montrer que dans  , deux droites affines soit sont parallèles, soit se coupent en un unique point.
  2. Que se passe-t-il dans   ?

Exercice 1-5

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Wikipédia possède un article à propos de « Parallélogramme ».

Un parallélogramme est un quadrilatère   tel que  . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes.

  1.   est un parallélogramme ;
  2.   est un parallélogramme ;
  3. les diagonales   et   se coupent en leurs milieux.

Exercice 1-6

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Soient   un espace affine,   un sous-espace affine de  , et   un hyperplan affine.

Montrer que l'une des deux assertions suivantes est vérifiée :

  •   ;
  •   est un sous-espace affine de dimension  .

Exercice 1-7

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Soit   un espace affine de dimension  , d'espace vectoriel directeur  .

  1. Soit   une application affine non constante de   dans  . Montrer que   est surjective. Montrer que   est un hyperplan affine de  . Réciproquement, montrer que tout hyperplan affine de   est de cette forme.
    1. Dans  , montrer que pour  , tout sous-espace vectoriel de dimension   est intersection de   hyperplans vectoriels.
    2. En déduire que tout sous-espace affine de   de dimension   est de la forme   pour   une famille d'applications affines  , c'est-à-dire est intersection de   hyperplans affines.
    3. Montrer que dans ce cas, l'application affine produit   est surjective.
  2. Réciproquement, montrer que si   sont des fonctions affines telles que l'application affine produit est surjective, alors l'intersection   est un sous-espace affine de dimension   (on pourra procéder par récurrence sur  , et utiliser l'exercice précédent).

Exercice 1-8

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Soient   un espace affine de dimension   et     hyperplans affines tels que l'intersection   des espaces vectoriels directeurs soit réduite au vecteur nul. Notons   des fonctions affines telles que  .

  1. Montrer que l'application linéaire produit   est injective. En déduire que la famille   engendre l'espace des formes linéaires sur   (les relations de colinéarité de cette famille s'identifient à l'orthogonal de   dans   muni du produit scalaire canonique).
    • Justifier qu'on peut supposer que la sous-famille   est une base.
    • Montrer que l'intersection   est réduite à un point   (on pourra utiliser l'exercice précédent).
  2. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
    1.   ;
    2. la famille de fonctions affines   est liée ;
    3. pour tout repère affine  , la matrice   n'est pas inversible.

Exercice 1-9

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Soit   un espace affine de dimension  . Soit   des droites toutes parallèles (  un vecteur directeur). Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes (on parlera de droites parallèles en configuration générique) :

  1. pour  , tout  -uplet de ces droites engendre un sous-espace de   de dimension   ;
  2. le sous-espace affine engendré par   est   tout entier.
  3. pour tout choix de  , pour toute donnée de points   ( ), en posant  ,   est un repère affine de  .

Exercice 1-10

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Soient   un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel  ,   une partie de  , et   un s.e.v. de  .

a) Démontrer que (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents et impliquent (v) :

i)   et   ;
ii)   est un sous-espace affine de   de direction   (c'est-à-dire — rappel —  ) ;
iii)   ;
iv)   et   ;
v)  .

b) Déduire de (a) une méthode pour prouver qu'une partie donnée   de   est ou n'est pas un sous-espace affine. Appliquer cette méthode pour prouver que tout singleton de   est un sous-espace affine.

c) Montrer par un contre-exemple que (v) ne suffit pas pour que   soit un sous-espace affine.