Géométrie affine/Espaces affines
Introduction
modifierDans cette partie, est un -espace vectoriel.
Un espace affine de direction , et de dimension , est un ensemble non vide muni d'une application
vérifiant les deux propriétés suivantes :
- (relation de Chasles) ;
- pour tout point , l'application est bijective.
Pour tout point et tout vecteur , l'unique point tel que est appelé le translaté de par et noté .
Soient et . Alors (d'après la relation de Chasles) donc .
- D'abord, (d'après la relation de Chasles dans le cas ). On en déduit que réciproquement, si alors .
- À nouveau d'après la relation de Chasles, .
- L'application est une action (à droite) libre et transitive du groupe sur l'ensemble .
- Réciproquement, pour une telle action, l'application qui, à tout couple de points associe l'unique vecteur tel que , vérifie les deux propriétés de la définition ci-dessus.
-
- D'après le premier point de la proposition 2, , autrement dit . Joint à la proposition 1, ceci assure que l'application est bien une action.
- Elle est libre et transitive puisque pour tout , il existe un unique vecteur tel que (le vecteur , d'après la définition ci-dessus de ).
- Réciproquement, soit une action libre et transitive, ou même seulement une application vérifiant la proposition 1 et la propriété : (on ne suppose donc pas que car cette hypothèse va s'avérer redondante).
- Pour tous points , notons l'unique vecteur tel que . Alors donc l'application est bien bijective (second point de la définition ci-dessus).
- Soient maintenant , posons et , alors par hypothèse, donc , ce qui prouve le premier point de la définition ci-dessus.
Repères cartésiens et affines
modifierSoit un espace affine de direction et de dimension finie .
- Un repère cartésien de est la donnée d'un point et d'une base de . Les coordonnées (cartésiennes) d'un point dans un tel repère sont les scalaires tels que .
- On dit que points sont affinement indépendants si les vecteurs sont linéairement indépendants.
- Un repère affine de est la donnée de points affinement indépendants.
est donc un repère affine si et seulement si est un repère cartésien.
Si sont affinement indépendants alors le sont aussi, pour n'importe quelle permutation .
Puisque la proposition est immédiate pour les permutations qui fixent , il suffit de la prouver dans le cas où, par exemple, est la transposition qui échange et .
Supposons que sont linéairement indépendants et que , et montrons que tous les sont nuls.
Par hypothèse, donc , ce qui implique bien .
Sous-espaces affines
modifierSoit un espace affine de direction .
Un sous-espace affine de est une partie de de la forme
- ,
où est un point de et est un sous-espace vectoriel de .
constitue alors, par restriction, un espace affine de direction .
Soient et deux sous-espaces affines de , de directions respectives et . On dit que :
- et sont parallèles si ;
- est faiblement parallèle à si .
Soit une famille de sous-espaces affines de . Leur intersection est soit vide, soit un sous-espace affine de direction , où les sont les directions des .
Si cette intersection est non vide, soit . Alors, , et est un sous-espace vectoriel de .
Soit une partie non vide de . Le sous-espace affine engendré par est l'intersection des sous-espaces affines de contenant . On le note .
D'après la proposition précédente, on a donc :
car la direction de contient nécessairement tous les vecteurs tels que , donc contient le sous-espace vectoriel qu'ils engendrent.
car pour tout , .
Soient et deux sous-espaces affines de . La direction du sous-espace affine est égale à :
D'après la proposition précédente, cette direction est égale à
- .
De plus, si et seulement s'il existe un point tel que et , c'est-à-dire , donc
Soient et deux sous-espaces affines de , de directions respectives et . On dit que et sont supplémentaires dans si .
Si et alors (d'après la proposition précédente) et (car donc ).
Réciproquement, si alors et (d'après la proposition précédente) et contient un unique point (car ).