Géométrie affine/Exercices/Applications affines
Exercice 2-1
modifierSoient et deux points du plan affine . Déterminer les caractéristiques de la composée des deux homothéties .
donc est une homothétie de rapport . Son centre est déterminé par :
- , soit .
est donc le symétrique de par rapport à . Ou algébriquement : .
Exercice 2-2
modifierDans le plan affine muni du repère cartésien , on considère la droite d'équation . Donner l'expression analytique de la symétrie par rapport à de direction .
L'image d'un point est caractérisée par :
- et ,
soit
- et .
La solution de ce système d'inconnue et de paramètre est :
- .
Soit et définie par . Montrer que est une symétrie, dont on précisera l'axe et la direction.
.
Points fixes : .
Vecteurs transformés en leurs opposés par : .
Donc est une symétrie, son axe est la droite affine d'équation , et sa direction est la droite vectorielle d'équation .
Exercice 2-3
modifierDans l'espace affine , on considère l'application affine définie analytiquement par :
- .
- Montrer que est une projection dont on déterminera les caractéristiques. L'application est-elle une projection ?
- Soit la translation de vecteur . Montrer que , où est une projection affine à déterminer.
- donc a pour noyau le plan d'équation et pour sous-espace de vecteurs fixes la droite d'équations . C'est donc la projection (vectorielle) sur parallèlement à . Mais n'est pas une projection (affine) car elle n'a aucun point fixe.
- Soit (ainsi, on aura par construction ). Alors, est égal à si et seulement si et , ce qui définit une droite affine (de direction ) et est la projection (affine) sur cette droite, parallèlement à . De plus, puisque .
Exercice 2-4
modifierSoit et définie par . Montrer que est une similitude directe, dont on précisera le centre, l'angle et le rapport.
avec et .
est donc une similitude directe de rapport et d'angle .
Son centre a pour affixe .
Identifier l'application affine du plan qui envoie respectivement les points , et sur les points , et .
avec et , soit
et , donc
.
On reconnaît une similitude directe d'angle et de rapport . Son centre est .
Exercice 2-5
modifierOn considère une translation et une homothétie d'un espace affine . Identifier les applications , et .
Soient le vecteur de et et les centre et rapport de .
est l'homothétie de rapport et de centre et est la translation de vecteur .
est une homothétie de rapport . Son centre est défini par donc , c'est-à-dire .
Exercice 2-6
modifierSoit l'application définie par :
- .
Déterminer la nature de cette application affine ainsi que ses caractéristiques.
est le plan d'équation et pour tout , appartient à ce plan. est donc la symétrie par rapport à ce plan et de direction la droite , engendrée par le vecteur .
Exercice 2-7
modifierSoit l'application définie par :
- .
- est la droite affine d'équation , donc est la projection sur cette droite, parallèlement à la droite vectorielle , d'équation .
Exercice 2-8
modifierNotons la symétrie centrale de centre et la translation de vecteur .
- Montrer que .
- En déduire que pour tous , est un parallélogramme si et seulement si .
- donc , avec .
- .
Exercice 2-9
modifierMontrer que l'application est une affinité et préciser ses éléments caractéristiques (base, direction, rapport).
L'ensemble des points fixes de est le plan d'équation .
Pour tout point , on a , où est le vecteur .
Soit la projection sur , parallèlement à . Alors, donc , c'est-à-dire , si bien que donc .
est l'affinité de base , de direction et de rapport 3.
Exercice 2-10
modifierSoit un triangle non plat, et et deux carrés bâtis sur ses côtés (les points sont énumérés dans le sens direct). Soit l'unique point tel que soit un parallélogramme. Montrer que et sont perpendiculaires.
Soit la rotation vectorielle d'angle . On a :
- ,
d'où le résultat.
Exercice 2-11
modifierSoient un espace affine, et affine. On cherche à décomposer sous la forme ou avec translation et application affine fixant .
- Montrer que (si elle existe) est unique, et que (si elles existent) sont égales.
- Montrer que le problème équivaut à trouver des translations telles que et .
- Démontrer que existe et est unique (et déterminer son vecteur).
- Démontrer que des existent si et seulement si (et déterminer leurs vecteurs).
- Une application affine est uniquement déterminée par l'image d'un point et par sa partie linéaire : Or et . Idem pour .
- est déterminée par ( ), et la condition se traduit alors par . Idem pour .
- Si est le vecteur de , .
- Si est le vecteur de , . De tels existent si et seulement si , et ce sont les vecteurs de la forme pour tout antécédent de par .
Exercice 2-12
modifierOn note le sous-groupe des éléments de qui fixent le point . Montrer que l'application suivante est bien définie (c'est-à-dire à valeurs dans , le sous-groupe des translations) :
et fournit une action de sur .
Décrire (le vecteur de) la translation en fonction de et , et constater que l'action est indépendante du point (on a donc en fait une action de sur ).
La partie vectorielle de est :
donc il s'agit bien d'une translation. Si l'on prend , on trouve , et l'on a la relation, pour tous :
- .
Ainsi, on a bien une action de groupe. Soient le vecteur de la translation et celui de la translation . Alors :
- .
Ainsi, , qui est donc indépendant de . On obtient une action de sur le groupe des translations grâce à l'identification entre et le sous-groupe .
Exercice 2-13
modifierSoient un espace affine de dimension , et un repère affine.
- Montrer que pout tout , il existe une unique application affine telle que
- Exprimer l'image d'un point par en fonction de ses coordonnées barycentriques dans le repère des .
- Montrer que l'ensemble est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de dans . Déduire de ce qui précède que sa dimension est au moins .
- Montrer que tout élément s'écrit . En déduire la dimension de .
- Le premier point est clair via la caractérisation des applications affines par conservation du barycentre.
- Si un point s'écrit en coordonnées barycentriques avec , alors .
- L'ensemble est stable par addition, multiplication externe et contient le neutre : l'application nulle. Toute relation de colinéarité entre les est triviale donc l'assertion sur la dimension s'en déduit.
- Le dernier point est clair et
Exercice 2-14
modifierSoient deux -espaces affines et une application de dans .
1) Dans cette question on suppose affine.
- a) (Re-)démontrer que est injective si et seulement si l'est.
- b) (Re-)démontrer que si est un sous-espace affine de de direction alors est un sous-espace affine de de direction .
- c) En déduire que si est injective, envoie toute droite de sur une droite de , et envoie deux droites parallèles sur des droites parallèles.
2) Soient trois points non alignés de . Pour tout , soient le point d'intersection de avec la parallèle à passant par , et le point d'intersection de avec la parallèle à passant par .
Démontrer que lorsque parcourt la droite , parcourt la demi-droite fermée .
3) Dans cette question on suppose que est de dimension , que envoie toute droite de bijectivement sur une droite de (donc est injective), et que envoie deux droites parallèles sur des droites parallèles.
Le but est d'en déduire que est affine.
- a) Montrer que l'image par d'un parallélogramme est un parallélogramme (on pourra commencer par le cas d'un parallélogramme non aplati).
- b) En déduire que l'application est bien définie.
- c) Vérifier que .
- En déduire que pour tout , puis pour tout .
- d) Montrer (en utilisant 2) que pour tous points distincts , .
- e) En déduire que est vrai pour tout , et conclure.
1)
- a) Soient et . On a (d'où : si est injective alors aussi) et de manière équivalente, (d'où : si est injective alors aussi). Remarquons que pour démontrer cette équivalence on n'a pas utilisé que est affine (c'est-à-dire que est linéaire).
- b) Si alors .
- c) Si est injective et si est une droite vectorielle de , d'après a) est une droite vectorielle de , et d'après b) toutes les droites affines de de direction ont pour image par des droites affines de de direction .
2) Soit tel que , alors (par Thalès) et .
3)
- a) Soient un parallélogramme (c'est-à-dire ou, ce qui est équivalent, ) et son image par .
- Si est non aplati (c'est-à-dire si les quatre points ne sont pas alignés) alors sont non alignés et et , donc idem en remplaçant par , donc il existe tels que et , d'où donc donc est un parallélogramme.
- Si est aplati mais , il existe (puisque ) tels que et forment deux parallélogrammes non aplatis. On se ramène ainsi au cas précédent. Enfin, si (donc ) alors et .
- b) Si , d'après ce qui précède, .
- c) Étant donnés , soient (arbitraire), , et . Alors, . On en déduit (par récurrence sur ) , d'où
- donc .
- d) Soit . Il suffit, dans la question 2), d'appliquer simultanément la construction sur et sur leurs images par , en remarquant que et .
- e) Soient , notons et . Par définition de on a donc :
- .
- D'après c), on en déduit . Donc d'après d), , d'où (en prenant l'intersection sur les tels que ), c'est-à-dire .
- Ceci (joint à la question c) prouve que est linéaire, donc que est affine.
Exercice 2-15
modifierSoient et deux droites du plan et et les réflexions d'axe respectivement et . Que représente géométriquement ?
On note que c'est donc une isométrie positive. Par la classification des isométries vectorielles en dimension 2, est soit soit une rotation. Différencions ces deux cas.
On suppose que donc est donc une translation (on est donc dans le cas où est parallèle à ). Soit un point quelconque sur la droite (qui est donc fixe par ) et alors est le vecteur de la translation.
On suppose que est une rotation, il reste donc à déterminer son centre et son angle (on est donc dans le cas où et sont sécantes). Notons que est l'unique point fixe de c'est donc le centre de la rotation. Comme précédemment prenons un point de , l’angle de la rotation est donc l'angle formé par les deux vecteurs et .