Géométrie affine/Exercices/Applications affines

Applications affines
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Exercices no2
Leçon : Géométrie affine
Chapitre du cours : Applications affines

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sous-espaces affines
Exo suiv. :Barycentres
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Géométrie affine/Exercices/Applications affines
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Exercice 2-1 modifier

Soient   et   deux points du plan affine  . Déterminer les caractéristiques de la composée des deux homothéties  .

Exercice 2-2 modifier

Dans le plan affine   muni du repère cartésien  , on considère la droite   d'équation  . Donner l'expression analytique de la symétrie par rapport à   de direction  .

Soit   et   définie par  . Montrer que   est une symétrie, dont on précisera l'axe et la direction.

Exercice 2-3 modifier

Dans l'espace affine  , on considère l'application affine définie analytiquement par :

 .
  1. Montrer que   est une projection dont on déterminera les caractéristiques. L'application   est-elle une projection ?
  2. Soit   la translation de vecteur  . Montrer que  , où   est une projection affine à déterminer.

Exercice 2-4 modifier

Soit   et   définie par  . Montrer que   est une similitude directe, dont on précisera le centre, l'angle et le rapport.

Identifier l'application affine   du plan qui envoie respectivement les points  ,   et   sur les points  ,   et  .

Exercice 2-5 modifier

On considère une translation   et une homothétie   d'un espace affine  . Identifier les applications  ,   et  .

Exercice 2-6 modifier

Soit   l'application définie par :

 .

Déterminer la nature de cette application affine ainsi que ses caractéristiques.

Exercice 2-7 modifier

Soit   l'application définie par :

 
  1. Montrer que  .
  2. Déterminer   géométriquement (points fixes, etc.).

Exercice 2-8 modifier

Notons   la symétrie centrale de centre   et   la translation de vecteur  .

  1. Montrer que  .
  2. En déduire que pour tous  ,   est un parallélogramme si et seulement si  .

Exercice 2-9 modifier

Montrer que l'application   est une affinité et préciser ses éléments caractéristiques (base, direction, rapport).

Exercice 2-10 modifier

Soit   un triangle non plat, et   et   deux carrés bâtis sur ses côtés (les points sont énumérés dans le sens direct). Soit   l'unique point tel que   soit un parallélogramme. Montrer que   et   sont perpendiculaires.

Exercice 2-11 modifier

Soient   un espace affine,   et   affine. On cherche à décomposer   sous la forme   ou   avec   translation et   application affine fixant  .

  1. Montrer que   (si elle existe) est unique, et que   (si elles existent) sont égales.
  2. Montrer que le problème équivaut à trouver des translations   telles que   et  .
  3. Démontrer que   existe et est unique (et déterminer son vecteur).
  4. Démontrer que des   existent si et seulement si   (et déterminer leurs vecteurs).

Exercice 2-12 modifier

On note   le sous-groupe des éléments de   qui fixent le point  . Montrer que l'application suivante est bien définie (c'est-à-dire à valeurs dans  , le sous-groupe des translations) :

 

et fournit une action de   sur  .

Décrire (le vecteur de) la translation   en fonction de   et  , et constater que l'action est indépendante du point   (on a donc en fait une action de   sur  ).

Exercice 2-13 modifier

Soient   un espace affine de dimension  , et   un repère affine.

  1. Montrer que pout tout  , il existe une unique application affine   telle que  
  2. Exprimer l'image d'un point par   en fonction de ses coordonnées barycentriques dans le repère des  .
  3. Montrer que l'ensemble   est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de   dans  . Déduire de ce qui précède que sa dimension est au moins  .
  4. Montrer que tout élément   s'écrit  . En déduire la dimension de  .

Exercice 2-14 modifier

 
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Soient   deux  -espaces affines et   une application de   dans  .

1) Dans cette question on suppose   affine.

a) (Re-)démontrer que   est injective si et seulement si   l'est.
b) (Re-)démontrer que si   est un sous-espace affine de   de direction   alors   est un sous-espace affine de   de direction  .
c) En déduire que si   est injective,   envoie toute droite de   sur une droite de  , et envoie deux droites parallèles sur des droites parallèles.

2) Soient   trois points non alignés de  . Pour tout  , soient   le point d'intersection de   avec la parallèle à   passant par  , et   le point d'intersection de   avec la parallèle à   passant par  .

Démontrer que lorsque   parcourt la droite  ,   parcourt la demi-droite fermée  .

3) Dans cette question on suppose que   est de dimension  , que   envoie toute droite de   bijectivement sur une droite de   (donc   est injective), et que   envoie deux droites parallèles sur des droites parallèles.

Le but est d'en déduire que   est affine.

a) Montrer que l'image par   d'un parallélogramme est un parallélogramme (on pourra commencer par le cas d'un parallélogramme non aplati).
b) En déduire que l'application   est bien définie.
c) Vérifier que  .
En déduire que   pour tout  , puis pour tout  .
d) Montrer (en utilisant 2) que pour tous points distincts  ,  .
e) En déduire que   est vrai pour tout  , et conclure.