Géométrie affine/Exercices/Barycentres

Barycentres
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Exercices no3
Leçon : Géométrie affine
Chapitre du cours : Barycentres

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Applications affines
Exo suiv. :Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues
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Géométrie affine/Exercices/Barycentres
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Exercice 3-1

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Soit   le barycentre de  . Montrer que   si et seulement si   est barycentre de  .

Exercice 3-2

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Soient   un triangle non aplati et   le triangle obtenu en menant par chacun des sommets   la parallèle à   (  opposé à  , etc.)

Montrer que ces deux triangles ont même isobarycentre.

Exercice 3-3

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Soit   un triangle ; on suppose que   divise le segment   dans le rapport   à   (c'est-à-dire  ), que   divise le segment   dans le rapport  , et que   et   se coupent en  . Déterminer   et   tels que   soit le barycentre de  .

Exercice 3-4

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Soient   non alignés, et   trois réels non nuls de somme nulle. On désigne par   le barycentre de  ,   celui de   et   celui de  . Montrer que les trois droites   sont parallèles.

Exercice 3-5

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Soient   trois points non alignés d'un plan affine. On se propose de déterminer, par trois méthodes différentes, l'ensemble des points ayant mêmes coordonnées dans le repère   et dans le repère  . Les trois questions sont donc indépendantes.

  1. Exprimer les coordonnées   dans   d'un point quelconque du plan en fonction de ses coordonnées   dans  , puis résoudre   et conclure.
  2. Montrer qu'un point   de coordonnées barycentriques   dans   est solution du problème si et seulement si  . Montrer que ceci équivaut à «   est un barycentre de   et de   », où   désigne le milieu de  , puis conclure.
  3. Soit   l'unique application affine qui fixe   et intervertit   et  . Montrer que   est solution du problème si et seulement si  . Interpréter   géométriquement, puis conclure.

Exercice 3-6

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Dans un plan affine, soient   un repère affine et   un point de coordonnées barycentriques   dans ce repère (donc  ). On désigne par   les symétriques de   par rapport aux milieux de   respectivement.

  1. Donner les coordonnées barycentriques de  .
  2. Montrer que   sont concourantes en un point   aligné avec   et l'isobarycentre de  .

Exercice 3-7

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On se place dans un plan affine. Soient   un triangle non aplati et   un réel différent de  . Démontrer qu'il existe un unique triangle   tel que

 ,

en précisant les coordonnées barycentriques de   dans le repère  .

Exercice 3-8

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Dans un plan affine, soient   un triangle (non aplati),   le milieu de  ,   une parallèle à  ,  ,   et   l'intersection de   avec la parallèle à   passant par  . On se propose de démontrer, par trois méthodes différentes, que   est le milieu de  .

1. (1re méthode) Soit   le milieu de  .

a) Démontrer qu'il existe   (uniques) tels que

 .

b) Prouver que  .

c) Déduire de a) et b) que   est parallèle à  .

d) En déduire que  .

2. (2e méthode) Soit   le point (unique) tel que   soit le milieu de  .

a) Soit   la symétrie par rapport à  , parallèlement à  . Démontrer que   envoie   sur  .

b) Soit   la symétrie par rapport à  , parallèlement à  . Démontrer que   envoie   sur  .

c) Déduire de a) et b) que la symétrie par rapport à   envoie   sur  .

d) En déduire que   sont alignés, puis, que  .

3. (3e méthode) Soit  .

a) Démontrer (en utilisant deux fois Thalès) que

 .

b) Démontrer de même que

 .

c) En déduire que   et conclure.