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Identités remarquables : Définition Identités remarquables/Définition », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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Les identités remarquables sont des raccourcis pour développer ou factoriser des expressions algébriques ou calculs littéraux. En troisième, on en voit seulement trois différentes, mais il en existe d’autres.
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Soient a et b deux nombres quelconques, calculons
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle (a+b)^{2}}
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
×
(
a
+
b
)
=
a
×
a
+
a
×
b
+
b
×
a
+
b
×
b
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b=a^{2}+2ab+b^{2}}
Première identité remarquable
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
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Soient a et b deux nombres quelconques, calculons
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle (a-b)^{2}}
(
a
−
b
)
2
=
(
a
−
b
)
×
(
a
−
b
)
=
a
×
a
−
a
×
b
−
b
×
a
+
b
×
b
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)=a\times a-a\times b-b\times a+b\times b=a^{2}-2ab+b^{2}}
Deuxième identité remarquable
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
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Soient a et b deux nombres quelconques, calculons
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
{\displaystyle (a-b)(a+b)}
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
×
a
+
a
×
b
−
b
×
a
−
b
×
b
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a-b)(a+b)=a\times a+a\times b-b\times a-b\times b=a^{2}-b^{2}}
Troisième identité remarquable
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}
Quand on transforme une somme de termes en un produit de facteurs , on dit que l’on factorise . La factorisation est donc la transformation inverse du développement . On peut utiliser les identités remarquables pour factoriser les expressions.
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Exemple : Soit à factoriser l’expression
x
2
+
4
x
+
4
{\displaystyle x^{2}+4x+4}
L’expression comporte trois termes avec uniquement des additions, on utilise donc la première identité remarquable.
a
2
=
x
2
{\displaystyle a^{2}=x^{2}}
a
=
x
{\displaystyle a=x}
b
2
=
4
{\displaystyle b^{2}=4}
b
=
2
{\displaystyle b=2}
Finalement,
x
2
+
4
x
+
4
=
(
x
+
2
)
2
{\displaystyle x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}}
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Exemple : Soit à factoriser l’expression
x
2
−
14
x
+
49
{\displaystyle x^{2}-14x+49}
L’expression comporte trois termes avec une soustraction, on utilise donc la deuxième identité remarquable.
a
2
=
x
2
{\displaystyle a^{2}=x^{2}}
a
=
x
{\displaystyle a=x}
b
2
=
49
{\displaystyle b^{2}=49}
b
=
7
{\displaystyle b=7}
Finalement,
x
2
−
14
x
+
49
=
(
x
−
7
)
2
{\displaystyle x^{2}-14x+49=(x-7)^{2}}
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Exemple : Soit à factoriser l’expression
x
2
−
16
{\displaystyle x^{2}-16}
L’expression comporte deux termes et c’est une différence, on utilise donc la troisième identité remarquable.
a
2
=
x
2
{\displaystyle a^{2}=x^{2}}
a
=
x
{\displaystyle a=x}
b
2
=
16
{\displaystyle b^{2}=16}
b
=
4
{\displaystyle b=4}
Finalement ,
x
2
−
16
=
(
x
+
4
)
×
(
x
−
4
)
{\displaystyle x^{2}-16=(x+4)\times (x-4)}
Factoriser en trouvant un facteur commun
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Parfois, l’expression à factoriser n’est pas une identité remarquable. Il ne reste plus qu’à revenir à la distributivité simple, en espérant trouver un facteur commun.
Exemple : Soit à factoriser l’expression
5
(
x
+
3
)
+
(
x
+
4
)
(
x
+
3
)
{\displaystyle 5(x+3)+(x+4)(x+3)}
Le facteur commun est
(
x
+
3
)
{\displaystyle (x+3)}
Finalement,
5
(
x
+
3
)
+
(
x
+
4
)
(
x
+
3
)
=
(
5
+
(
x
+
4
)
)
×
(
x
+
3
)
=
(
x
+
9
)
×
(
x
+
3
)
{\displaystyle 5(x+3)+(x+4)(x+3)=(5+(x+4))\times (x+3)=(x+9)\times (x+3)}
