Implication et équivalence/Exercices/Logique et raisonnements
Exercice 3-1
modifierVrai ou faux ?
- Si , alors .
- Si , alors .
- Il n'est pas vrai que « si ».
- Il n'est pas vrai que « si ».
- si et seulement si .
- si et seulement si .
- Un entier naturel est positif si et seulement si son carré est positif.
- Vrai (pour deux raisons).
- Faux.
- Faux (en tant que négation de l'énoncé 1).
- Vrai (en tant que négation de l'énoncé 2).
- Vrai (car les deux termes sont faux).
- Faux (car l'un est faux et l'autre vrai).
- Vrai (car les deux termes sont vrais, quel que soit l'entier naturel considéré).
Exercice 3-2
modifier- On considère les assertions : « il pleut » et : « je suis mouillé ». Donner des énoncées en français qui traduisent les assertions suivantes :
. - Simplifiez les énoncés suivants :
- Il n'est pas vrai que s'il pleut, il fait froid.
- Il n'est pas vrai que « les coquelicots sont rouges si et seulement si les violettes sont bleues ».
- Il n'est pas vrai que « les champignons ne poussent pas s'il ne fait pas soleil ».
-
- a) Il ne pleut pas.
- b) Je suis mouillé.
- c) Il pleut et je suis mouillé.
- d) Si je suis mouillé alors il pleut.
- e) Vrai.
- f) Il ne pleut pas et je suis mouillé.
- g) Il ne pleut pas ou je suis sec.
- h) Il ne pleut pas et je suis sec.
-
- Il pleut et il ne fait pas froid.
- Les coquelicots sont rouges et au moins une violette n'est pas bleue, ou les violettes sont bleues et au moins un coquelicot n'est pas rouge.
- Il ne fait pas soleil et un champignon pousse.
Exercice 3-3
modifier- La négation de la proposition « S'il fait beau, je vais à la plage » est :
- a) S'il fait beau, je ne vais pas à la plage.
- b) S'il ne fait pas beau, je ne vais pas à la plage.
- c) S'il ne fait pas beau, je vais à la plage.
- d) Il fait beau et je ne vais pas à la plage.
- La proposition « Les personnes qui parlent trop ne réfléchissent pas souvent » équivaut à :
- a) Les personnes qui parlent trop ne réfléchissent pas.
- b) Les personnes qui réfléchissent souvent ne parlent pas trop.
- c) Les personnes qui réfléchissent souvent parlent trop.
- d) Les personnes qui ne parlent pas trop réfléchissent souvent.
1. d), 2. b)
Exercice 3-4
modifier- Montrer qu'il y a 4 connecteurs unaires et écrire leurs tables de vérité.
-
- a) Écrire les tables de vérité des trois connecteurs binaires , et définis par :
- est le connecteur de disjonction exclusive (« OU exclusif ») : est vrai si l'on a ou mais pas les deux à la fois ;
- (barre de Sheffer) est le connecteur d’incompatibilité (« NAND » ou « NON ET ») : signifie que exclut (ou encore : que l'on ne peut pas avoir et à la fois) ;
- (connecteur de Pierce) est le connecteur de rejet (« NOR » ou « NON OU ») : signifie que l'on n'a ni , ni .
- b) Montrer que tous les connecteurs logiques usuels peuvent être définis en utilisant uniquement la barre de Sheffer, et que le connecteur de Pierce peut jouer le même rôle.
- c) Montrer qu'il y a 16 connecteurs binaires et écrire leurs tables de vérité.
- a) Écrire les tables de vérité des trois connecteurs binaires , et définis par :
- Combien y a-t-il de connecteurs ternaires ?
1. Les connecteurs -aires sont les applications de dans . Il y en a donc .
En particulier, il y a connecteurs unaires : , , et , dont voici les tables de vérité :
Valeur de | Valeur de | Valeur de | Valeur de |
---|---|---|---|
V | F | V | F |
F | V | V | F |
2.
- a)
Valeur de | Valeur de | Valeur de | Valeur de | Valeur de |
---|---|---|---|---|
V | V | F | F | F |
V | F | V | V | F |
F | V | V | V | F |
F | F | F | V | V |
- b) On sait que tous les connecteurs logiques peuvent s'obtenir à partir des deux connecteurs et , ou encore et . Il suffit donc d'engendrer ces deux derniers avec , puis avec . On a donc et . De même, donc et .
- c) Il y a connecteurs binaires, dont voici les tables de vérité :
V | V | V | F | F | F | V | V | V | F | V | F | V | F | V | F | V | F |
V | F | F | F | V | F | V | F | V | V | F | V | V | F | F | V | V | F |
F | V | F | V | F | F | V | V | F | V | F | V | F | V | V | F | V | F |
F | F | F | F | F | V | F | V | V | V | V | F | F | V | F | V | V | F |
3. Il y a connecteurs ternaires.
Exercice 3-5
modifier- Vérifier à l'aide des tables de vérité les équivalences logiques suivantes :
- .
- En déduire :
- .
- Dans chacun des cas suivants, écrire la table de vérité de l'assertion et trouver une assertion équivalente plus simple :
- .
1. Il suffit de comparer les colonnes correspondantes des tables suivantes :
V | F | V | V | V | V | V | F | F | F | V | V |
V | F | V | F | V | V | F | V | V | V | F | F |
F | V | F | V | V | V | F | V | F | V | V | V |
F | V | F | F | F | F | F | V | V | V | V | V |
V | V | V | V | V | V | V | V |
V | V | F | V | V | V | F | V |
V | F | V | V | V | V | F | V |
V | F | F | V | V | V | F | V |
F | V | V | V | V | V | V | V |
F | V | F | V | F | F | F | F |
F | F | V | F | V | F | F | F |
F | F | F | F | F | F | F | F |
2.
- a) En utilisant successivement d), a), b), d), on obtient :
- b) En utilisant successivement d), a), c), a), on obtient : .
- c) En utilisant successivement d), a), b), e), on obtient : .
- d) En utilisant d) puis a), on obtient : .
3.
V | V | V | V | V | V |
V | V | F | F | F | V |
V | F | V | V | V | V |
V | F | F | V | V | V |
F | V | V | V | V | V |
F | V | F | V | F | V |
F | F | V | V | V | V |
F | F | F | V | F | V |
Vrai |
Exercice 3-6
modifier- Que peut-on dire de l'assertion lorsque l'assertion « » est vraie
a) avec qui est fausse ? b) avec qui est vraie ? - Mêmes questions lorsque l'assertion « » est vraie.
- Étant donnée une assertion fixée, que peut-on dire de l'assertion telle que soit une tautologie et une contradiction ?
- a) est fausse, b) Rien.
- a) Rien, b) est vraie.
- Par hypothèse, , ce qui équivaut à , ou encore : .
Exercice 3-7
modifierOn considère trois propositions , et et l'on suppose que et . En déduire les valeurs de vérité de , et .
De la seconde hypothèse on déduit que est vrai et donc aussi. De la première hypothèse on déduit alors que est vrai.
Exercice 3-8
modifierDéterminer les ensembles suivants :
- ,
- ,
- .
- .
- Pour tout , donc .
- Pour tout , donc .
Soient tels que et . Déterminer les réels tels que
- .
Un réel vérifie
ou encore
si et seulement si (c'est-à-dire ) ou ou .
L'ensemble des solutions est donc , autrement dit :
- si : ;
- si : ;
- si : .
Exercice 3-9
modifier- Donner un exemple simple d'ensemble , et de choix d'interprétation sur des prédicats et , tel que les énoncés suivants soient vrais tous les deux :
- A :
- B : .
- Pour tout vérifiant A et B, donner (en justifiant !) la valeur de vérité de chacun des deux énoncés :
- C :
- D : .
- , , , (et quelconque).
- C est vrai car est faux (car il équivaut à ).
D est faux car il équivaut à .
Exercice 3-10
modifierDans chaque cas, écrire en langage quantifié la négation de l'assertion (on précisera, quand c'est possible, la valeur de vérité des assertions).
- La suite numérique vérifie :
- La suite numérique vérifie : .
- La négation est vraie, et même : .
- La proposition est vraie, et même : . Sa négation est .
- La proposition est vraie car . Sa négation est .
- La négation est vraie ( ).
- La proposition est vraie, et même : . Sa négation est .
- La proposition est vraie ( est dense dans ). Sa négation est .
- La proposition signifie que la suite est majorée. Sa négation est .
- La proposition signifie que la suite est majorée à partir d'un certain rang (ce qui équivaut à : cette suite est majorée). Sa négation est .
Exercice 3-11
modifierJuger de la validité des syllogismes suivants :
- Aucune citrouille n'est rouge, or tous les fruits sont rouges, donc certains fruits ne sont pas des citrouilles.
- Seules les citrouilles sont orange, or certains fruits ne sont pas orange, donc certains fruits ne sont pas des citrouilles.
- Seuls les jugements désintéressés sont des jugements libres, or tout jugement rationnel est un jugement libre, donc certains jugements rationnels sont désintéressés.
- Qui est déchu de ses droits civiques n'est pas éligible, or certains criminels ne sont pas déchus de leurs droits civiques, donc certains criminels sont éligibles.
- Seuls les actes explicitement interdits par la loi sont répréhensibles, or certains détournements d'argent ne sont pas explicitement interdits par la loi, donc certains détournements d'argent ne sont pas répréhensibles.
- Valide, bien qu'affaibli (on pourrait conclure qu'aucun fruit n'est une citrouille).
- Invalide (il faudrait remplacer, dans la prémisse majeure, « Seules les citrouilles » par « Toutes les citrouilles »).
- Valide, bien qu'affaibli (on pourrait conclure que tous les jugements rationnels sont désintéressés).
- Invalide (il faudrait intervertir, dans la prémisse majeure, « est » et « n'est pas »).
- Parfaitement valide.
Exercice 3-12
modifierSoient et . Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? (justifier)
signifie : est faux ou est vrai.
- est vrai car est vrai (ou encore : car est faux).
- est vrai et est faux donc est faux.
- ( est faux mais) est faux donc est vrai.
- est vrai. Pour le démontrer, il suffit de fournir un tel que soit vrai ou tel que soit faux (par exemple , ou n'importe quel , comme ).
- est vrai. Pour le démontrer, il suffit de fournir un tel que soit vrai ou tel que soit faux (on a le choix entre ou ).