Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées

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L'objectif de cette leçon est de présenter les suites numériques et leurs premières propriétés. En particulier, la première propriété à laquelle on va s'intéresser est la variation des suites (croissance, décroissance), intuitivement il s'agit de savoir si la suite augmente ou non.

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Dans un second temps, on va poser les définitions de suite bornée, minorée et majorée, ce qui correspond à savoir si la suite va dépasser un certain seuil donné. Ces notions sont fondamentales pour poursuivre l'étude des suites numériques comme nous le verrons dans la leçon suivante sur la convergence des suites.

Définition d’une suite numérique

Définition

Une suite numérique est une application de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$.

On la note :

${\begin{matrix}u&:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {R} &&\\&&n&\mapsto &u(n)&=&u_{n}\end{matrix}}$

ou encore $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ou simplement $(u_{n})$, et l'on dit que $(u_{n})$ est la suite numérique de terme général $u_{n}$.

Généralement, une suite $(u_{n})$ peut être définie :

• Explicitement

  Ex. : $u_{n}={\frac {3n}{n+1}}$

• Par récurrence

  Ex. : $u_{0}=1$ et $u_{n+1}={\sqrt {u_{n}}}+2$.

• Implicitement

  Ex. : $\alpha _{n}$ est l'unique solution sur $\left]0,+\infty \right[$ de $x^{n}\ln x=2$.

On peut aussi la citer extensivement sous la forme :

$(u_{0},u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n},\cdots )$.

Début de l'exemple

Exemple

Le premier exemple classique de suite est donné par les suites arithmétiques, qui sont définies explicitement par $u_{n}=u_{0}+nr$, où $u_{0}$ est le premier terme de la suite et $r$ est la raison. On les définit également par récurrence par $u_{n+1}=u_{n}+r$.

Le deuxième exemple est donné par les suites géométriques, qui sont définies explicitement par $u_{n}=q^{n}u_{0}$, où $u_{0}$ est le premier terme de la suite et $q$ est la raison. On les définit également par récurrence par $u_{n+1}=qu_{n}$.

Un dernier exemple à connaître est donné par la suite $u_{n}=n\times (n-1)\times \dots \times 2\times 1$ qui est la factorielle du nombre $n$, et que l'on note $n!$ (ce qui se lit « factorielle $n$ » ou « $n$ factorielle »).

Fin de l'exemple

On note ${\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$, ou encore $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, l'ensemble des suites numériques. On peut alors définir des opérations algébriques sur cet ensemble de manière naturelle, par exemple la somme de deux suites revient à additionner chaque terme de la suite.

Algèbre des suites

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites numériques et $\lambda \in \mathbb {R}$. On définit les opérations suivantes :

• $(u_{n})+(v_{n})=(u_{n}+v_{n})$ ;
• $\lambda (u_{n})=(\lambda u_{n})$ ;
• $(u_{n})(v_{n})=(u_{n}v_{n})$.

Remarque

Les suites forment un anneau non intègre, c'est-à-dire que l'on peut trouver deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ non nulles dont le produit $(u_{n}).(v_{n})$ est nul (par exemple, les suites définies par $u_{n}=(-1)^{n}-1$ et $v_{n}=(-1)^{n}+1$).

Variations d’une suite

Dans cette partie, on donne les premières définitions permettant d'étudier les variations d'une suite, ainsi que différentes méthodes d'étude.

Définitions

Une suite numérique est dite monotone si elle est monotone (croissante ou décroissante) en tant que fonction (de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$). Plus précisément :

Définition

Une suite numérique $(u_{n})$ est dite

• croissante (resp. décroissante) à partir du rang $N$ si

  $\forall n\geq N\quad u_{n+1}\geq u_{n}$ (resp. $\forall n\geq N\quad u_{n+1}\leq u_{n}$)

  ou, ce qui est équivalent, si

  $\forall n>m\geq N\quad u_{n}\geq u_{m}$ (resp. $\forall n>m\geq N\quad u_{n}\leq u_{m}$) ;

• croissante (resp. décroissante) si elle l'est à partir du rang $0$ ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante

Début de l'exemple

Exemple

La suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par $u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}$ n'est ni croissante ni décroissante à partir d'aucun rang car $u_{2k+1}<u_{2k}$ et $u_{2k+2}>u_{2k+1}$.

Fin de l'exemple

Un cas particulier de variation est donné par les suites constantes :

Définition

On dit qu'une suite $(u_{n})$ est :

• constante si : $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=u_{0}$ ;
• stationnaire si elle est « constante à partir d'un certain rang », c'est-à-dire si :

  $\exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}=u_{N}$.

Remarque

On peut aussi définir une suite constante comme une suite à la fois croissante et décroissante.

Méthode

Pour savoir si une suite est monotone, il est souvent efficace d'étudier :

• le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ ;
• si $(u_{n})$ est de signe constant, le signe de ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1$

Si $u_{n}<0$ et ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1\geq 0$, on a $u_{n+1}\leq u_{n}$ et la suite est donc décroissante ;

• si la suite est de la forme $u_{n}=f(n)$, la monotonie de $f$, par exemple à partir du signe de sa dérivée.

Début de l'exemple

Exemples

• Toute suite $(u_{n})$ vérifiant $u_{n+1}=u_{n}-n^{3}$ est décroissante car $u_{n+1}-u_{n}=-n^{3}\leq 0$.
• La suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par $u_{n}=\ln n$ est croissante car la fonction logarithme est croissante sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.
• La suite $(u_{n})$ définie par $u_{n}={\frac {\exp n}{n!}}$ est décroissante à partir du rang 2 car $u_{n}>0$ et ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {\exp 1}{n+1}}<1$ pour $n\geq 2$.

Fin de l'exemple

Suite bornée

Une suite numérique est dite bornée si elle est bornée en tant que fonction (de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$). Plus précisément :

Définition

Une suite numérique $(u_{n})$ est dite :

• majorée s'il existe au moins un réel supérieur à tous les termes de la suite, autrement dit si :

  $\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\leq A$ ;

• minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si :

  $\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\geq A$ ;

• bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire si :

  $\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \left|u_{n}\right|\leq A$.

Début de l'exemple

Exemples

• Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
• La suite $(n)$ n'est pas majorée.
• La suite $\left(\cos n\right)$ est bornée (son plus petit majorant est 1 et son plus grand minorant est –1) mais n'atteint pas ses bornes.
• La suite $\left((-1)^{n}n\right)$ n'est ni majorée, ni minorée.

Fin de l'exemple

Remarque

Toute suite majorée (resp. minorée, resp. bornée) à partir d'un certain rang est majorée (resp. minorée, resp. bornée).

En effet, si $\forall n\geq N\quad u_{n}\leq A$ alors, en posant $B=\max \left(A,u_{0},u_{1},\dots ,u_{N-1}\right)$, on a : $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\leq B$.