En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Nombres premiersInitiation à l'arithmétique/Exercices/Nombres premiers », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
a) Décomposer 118 et 177 en produits de facteurs premiers puis,
après réduction au même dénominateur, calculer :
15 118 + 11 177 {\displaystyle {\frac {15}{118}}+{\frac {11}{177}}} .b) De même avec :
2 75 − 3 50 {\displaystyle {\frac {2}{75}}-{\frac {3}{50}}} .c) De même avec :
1 56 − 3 49 + 5 42 {\displaystyle {\frac {1}{56}}-{\frac {3}{49}}+{\frac {5}{42}}} .
Solution
a) 118 = 2 × 59 et 177 = 3 × 59. Le plus petit dénominateur commun est 2 × 3 × 59 = 3 × 118 = 2 × 177.
15 118 + 11 177 = 15 × 3 118 × 3 + 11 × 2 177 × 2 = 45 + 22 354 = 67 354 ≈ 0 , 19 {\displaystyle {\frac {15}{118}}+{\frac {11}{177}}={\frac {15\times 3}{118\times 3}}+{\frac {11\times 2}{177\times 2}}={\frac {45+22}{354}}={\frac {67}{354}}\approx 0{,}19} .b) 75 = 3 × 25 et 50 = 2 × 25.
2 75 − 3 50 = 2 × 2 2 × 75 − 3 × 3 3 × 50 = 4 − 9 150 = − 5 150 = − 1 30 ≈ − 0 , 33 {\displaystyle {\frac {2}{75}}-{\frac {3}{50}}={\frac {2\times 2}{2\times 75}}-{\frac {3\times 3}{3\times 50}}={\frac {4-9}{150}}=-{\frac {5}{150}}=-{\frac {1}{30}}\approx -0{,}33} .c) 56 = 7 × 8, 49 = 7 × 7 et 42 = 7 × 6.
1 56 − 3 49 + 5 42 = 21 56 × 21 − 3 × 24 49 × 24 + 5 × 28 42 × 28 = 21 − 72 + 140 1176 = 89 1176 ≈ 0,076 {\displaystyle {\frac {1}{56}}-{\frac {3}{49}}+{\frac {5}{42}}={\frac {21}{56\times 21}}-{\frac {3\times 24}{49\times 24}}+{\frac {5\times 28}{42\times 28}}={\frac {21-72+140}{1176}}={\frac {89}{1176}}\approx 0{,}076} .
a) Décomposer 210 en produits de facteurs premiers.
b) Calculer en réduisant au même dénominateur puis en simplifiant :
17 42 + 13 210 − 31 105 {\displaystyle {\frac {17}{42}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31}{105}}} .
Solution
a) 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b) 17 42 + 13 210 − 31 105 = 17 × 5 42 × 5 + 13 210 − 31 × 2 105 × 2 = 85 + 13 − 62 210 = 36 210 = 6 35 ≈ 0 , 17 {\displaystyle {\frac {17}{42}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31}{105}}={\frac {17\times 5}{42\times 5}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31\times 2}{105\times 2}}={\frac {85+13-62}{210}}={\frac {36}{210}}={\frac {6}{35}}\approx 0{,}17} .
a) Décomposer 45 et 210 en produits de facteurs premiers.
b) Calculer en choisissant le plus petit dénominateur commun possible puis simplifier :
17 30 − 13 210 + 31 45 {\displaystyle {\frac {17}{30}}-{\frac {13}{210}}+{\frac {31}{45}}} .
Solution
a) 45 = 32 × 5 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b) 17 30 − 13 210 + 31 45 = 17 × 21 30 × 21 − 13 × 3 210 × 3 + 31 × 14 45 × 14 = 357 − 39 + 434 630 = 752 630 = 376 315 ≈ 1 , 19 {\displaystyle {\frac {17}{30}}-{\frac {13}{210}}+{\frac {31}{45}}={\frac {17\times 21}{30\times 21}}-{\frac {13\times 3}{210\times 3}}+{\frac {31\times 14}{45\times 14}}={\frac {357-39+434}{630}}={\frac {752}{630}}={\frac {376}{315}}\approx 1{,}19} .
a) Calculer à la calculatrice 27 20000 {\displaystyle {\frac {27}{20000}}} et 5 × 10 6 3703703703 {\displaystyle {\frac {5\times 10^{6}}{3703703703}}} . Qu'observe-t-on ?
Solution
On trouve 0.00135 pour les deux.
b) Démontrer que ces deux nombres sont distincts.
Solution
27 × 3703703703 {\displaystyle 27\times 3703703703} est impair donc différent de 20000 × 5 × 10 6 {\displaystyle 20000\times 5\times 10^{6}} (en fait, le second est égal à 10 11 {\displaystyle 10^{11}} et le premier un peu moins : 99 999 999 981).
a) Décomposer 36 et 52 en produit de facteurs premiers.
Solution
36 = 22 × 32 et 52 = 22 × 13.
b) Donner toutes les tailles entières possibles, en dm de côté, de dalles carrées identiques permettant de carreler une pièce rectangulaire de 3,60 m sur 5,20 m .
Indiquer dans chaque cas le nombre de dalles.
Solution
Les diviseurs communs à 36 et 52 sont les diviseurs de 22 . On pourra donc carreler en dalles de côté :
4 dm (32 × 13 = 117 dalles) ;
2 dm (4 × 117 = 468 dalles) ;
1 dm (4 × 468 = 1 872 dalles).