Initiation à l'arithmétique/Exercices/Sujets de brevet

Exercice 1

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2000.

1. Calculer le P.G.C.D. de 114400 et 60775.

Solution

114400 = 60775 × 1 + 53625

60775 = 53625 × 1 + 7150

53625 = 7150 × 7 + 3575

7150 = 3575 × 2 + 0

Le PGCD de 114400 et 60775 est 3575.

 

2. Donner l'écriture simplifiée de ${\frac {114400}{60775}}$.

Solution

${\frac {114400}{60775}}={\frac {3575\times 32}{3575\times 17}}={\frac {32}{17}}$

 

Exercice 2

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2000.

1. Calculer le PGCD de 110 et de 88.

Solution

110 = 2 × 5 × 11

88 = 2 × 2 × 2 × 11

le PGCD de 110 et 88 est égal à 2 × 11, soit 22.

 

2. Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : « Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte. »

a. Quelle sera la longueur du côté d'un carré ?

Solution

La longueur du côté du carré sera égale au PGCD de 110 et 88 c'est-à-dire 22 cm.

 

b. Combien obtiendra t-il de carrés par plaque ?

Solution

On obtient ainsi 4 rangées de 5 carrés soit 20 carrés par plaques.

 

Exercice 3

Écrire sous forme de fraction irréductible le nombre ${\frac {325}{1053}}$.

Solution

325 = 25 × 13

1053 = 81 × 13

${\frac {325}{1053}}$ = ${\frac {25}{81}}$.

 

Exercice 4

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2001.

1. Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.

Solution

On a 135 = 108 + 27

108 = 27 × 4

donc PGCD (135,108) = 27.

 

2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.

Il veut faire des paquets de sorte que :

• tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
• tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
• toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.

a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?

Solution

Il pourra donc faire 27 paquets au maximum.

 

b. Combien y aura-t- il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?

Solution

Il y aura par paquet :

4 billes rouges (108 = 4 x 27)

et 5 billes noires (135 = 5 x 27).

 

Exercice 5

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2001.

1. Donner l'égalité traduisant la division euclidienne de 1512 par 21.

Solution

1512 = 21 × 72

 

2. Rendre irréductible la fraction ${\frac {720}{1512}}$.

Solution

${\frac {720}{1512}}$ = ${\frac {72\times 10}{72\times 21}}$ = ${\frac {10}{21}}$

 

Exercice 6

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2003.

Calculer le PGCD des nombres 1183 et 455 en précisant la méthode utilisée.

Solution

Calcul du PGCD de 1183 et 455 en utilisant successivement la division euclidienne :

1183 = 2 × 455 + 273

455 = 1 × 273 + 182

273 = 1 × 182+ 91

182 = 2 × 91. Comme le reste est 0, alors le PGCD de 1183 et 455 est 91.

 

Écrire sous la forme irréductible la fraction ${\frac {1183}{455}}$ (on indiquera le détail des calculs).

Solution

${\frac {1183}{455}}$ = ${\frac {91\times 13}{91\times 5}}$ = ${\frac {13}{5}}$