Initiation à l'arithmétique/Nombres premiers

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Diviseurs d'un nombre entier

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $b$ est un diviseur de $a$ — ou que $a$ est un multiple de $b$ — s'il existe un entier $q$ tel que $a=b\times q$.

Exemple

• $12=6\times 2$ donc 6 et 2 sont des diviseurs de 12.
• $12=8\times 1,5$ mais 1,5 n’est pas entier donc 8 n’est pas un diviseur de 12.
• Tout nombre pair positif s'écrit sous la forme 2n avec n entier naturel.

Nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un entier naturel n qui a exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et n.

Exemple

• 2, 3, 5 et 7 sont premiers.
• 12 n’est pas premier.
• 1 n’est pas premier.
• 0 n’est pas premier.

Crible d'Ératosthène

On forme une table avec tous les nombres entiers naturels compris entre 2 et 120 (par exemple) et on raye les nombres qui ne sont pas premiers, de la manière suivante : dès que l’on trouve un entier qui n'a pas encore été rayé, il est déclaré premier, et l'on raye tous les autres multiples de celui-ci.

Il suffit de poursuivre jusqu'à 11 ... pourquoi ?

Décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété

Tout entier supérieur ou égal à 2 :

• est un nombre premier

ou

• se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers.

Exemple

$1250=2\times 5\times 5\times 5\times 5=2\times 5^{4}$.

Méthode de décomposition

Décomposons 1 848 en produit de facteurs premiers.

nombre	diviseurs
1848	2
924	2
462	2
231	3
77	7
11	11
1

donc

$1848=2^{3}\times 3\times 7\times 11$.